Микро- и макроскопическое описание поля в веществе

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Уравнения магнитного поля, полученные в предыдущей главе, будут верны и в том случае, если пространство заполнено магнитоактивной средой, но при этом их следует считать микроскопическими уравнениями поля, порождаемого совокупно сторонними токами и откликом среды. Последний можно формализовать в виде некоторого наведенного распределения токов.

Еще Ампер предполагал, что вещество магнетика представимо в виде совокупности магнитных диполей — элементарных витков с током, которые он называл молекулярными токами. Как показали последующие работы, эта гипотеза, безусловно, содержала элемент физической реальности, только отклик среды едва ли можно свести к молекулярному уровню. Лишь эффект парамагнетизма представим с некоторыми оговорками моделью Ампера. Диамагнетизм объясняется либо откликом на внешнее поле электронных оболочек атомов, либо откликом обобществленных электронов проводимости в кристалле. Наиболее сложна природа ферромагнетизма — этот круг явлений обусловлен квантовым эффектом упорядочения спиновых и орбитальных моментов электронов. Вообще адекватное представление магнетиков зачастую с необходимостью требует перехода на язык квантовой механики. Мы займемся этим в разделе, посвященном строению вещества,

а здесь ограничимся феноменологическим описанием магнитных явлений, в минимальной степени адресуясь к их микроскопической природе.

Проблема состоит в том, что мы не можем реально использовать точные микроскопические уравнения, включающие «поштучно» все частицы магнетика, и должны перейти к какому-то усредненному описанию, в котором отклик частиц должен быть представлен как некоторая реакция сплошной среды. Ситуация подобна таковой в диэлектриках; здесь так же перестают быть тождественными понятия индукции и поля, только индуцируются уже не связанные заряды, а некоторые микроскопические токи. Микроскопичность в данном случае означает не только малый пространственный масштаб наведенных диполей. Токи эти — атомной природы. Они, например,

не испытывают сопротивления и не приводят к джоулеву тепловыделению.

Мы их представим некоторым распределением }micro (г), которое затем будем усреднять вместе с уравнениями.

Исходная система уравнений, включающая микроскопические токи и поля, имеет вид:

div b = 0; b = μ₀ h; rot h = j + j _micro (5.1)

Здесь j (r) — распределение обычных макроскопичеких токов; их традиционно именуют токами проводимости.

От этого описания мы должны перейти к некоторому усреднению системы (5.1):

B = (< b>); div B = 0; rot В = μ₀ (j + (< j _micro>). (5.2)

Чтобы представить (j_miCro) какой-либо макроскопической принципиально измеряемой величиной, воспользуемся определением (5.15) для векторпотенциала. После усреднения по физически бесконечно малому объему эта формула принимает вид:

Air J R Air J

R

С другой стороны, мы можем представить ту же самую величину А через

наведенный дипольный момент единицы объема J — его называют также

намагничением. Полагая d m = J dF, получаем из (4.22) альтернативное

выражение для поправки к (4.15), учитывающей отклик среды:

J 4тгД3 J

J 4Д3 J 4Д3

Далее строим следующую цепочку формальных математических преобразований:

rot (J/Д) = [V, J/Д] = (rot 3)/R+ [J, V(l/i?)] = (rot J)/i?- [JR]/i?3,

что позволяет переписать нашу поправку в следующей форме:

6А= f^dV-±h

J AttR Att

Интегрируя по всему пространству, последний интеграл можем положить

равным нулю. Действительно, под знаком интеграла стоит операция rot,

представляющая собой комбинацию производных, и если мы на достаточно

больших расстояниях выходим за пределы магнетика, то в подстановках

получаем нуль, потому что вне магнетика J = 0. А теперь приравняем два

полученных выражения для δА:

J AnR ~ J

AttR '

В отсутствие каких-либо специальных математических условий отсюда сле-

дует равенство подынтегральных выражений

< j _micro>= rot J,

которое мы и подставим в (5.2):

rot В = μ₀(j + rot J). (5.3)

Далее доопределим напряженность поля Н «вакуумным» уравнением, в

которое включим только токи проводимости:

rot H = j, (5.4)

как следствие получаем

B = μ₀(H + J). (5.5)

В действительности (5.3) и (5.4) связывают поля В и Н с точностью до градиента произвольной скалярной функции, поскольку rot (▼f) = 0. Мы знаем, однако, что магнитное поле не может быть потенциальным, а потому исключаем такую неопределенность. Во многих практически интересных случаях, в частности во всех случаях пара- и диамагнетизма, можно с достаточной точностью аппроксимировать зависимость намагничения от поля токов простой линейной зависимостью:

J = χ H.

Тогда и связь между полем и индукцией оказывается линейной:

В = μμ₀ H; μ = 1 + χ (5.6)

Величина х называется магнитной восприимчивостью, a μ — магнитной

проницаемостью. В случае линейной связи (5.6) это просто константа данного вещества. Не столь проста ситуация в случае ферромагнетиков. Во- первых, зависимость В (Н) становится нелинейной, поэтому в таких веществах не работает принцип суперпозиции полей. Во-вторых, она оказывается еще и неоднозначной: значение индукции зависит не только от величины поля, но и от истории магнетика. В-третьих, сама величина Н определяется не только внешними токами, но и геометрией образца. В гл. 2 при описа-

нии сегнетоэлектриков мы уже встречались с эффектами такого рода. Хотя уравнение E.4) идентично уравнению поля в вакууме, его, как мы вскоре увидим, приходится решать при других граничных условиях, так что и свойства этой векторной величины будут другими, скажем, возможна ситуация, когда j = 0, но Н /= 0. Соотношение (5.5) справедливо всегда при учете оговорок относительно природы вектора Н. Но формула (5.6) верна лишь для

безграничной сплошной среды. В одном и том же внешнем поле образцы, из одного и того же материала с одной и той же константой μ, но разной формы, будут намагничены по-разному, т. е. разными будут величины J (r) и В (r).

Если, как это нередко бывает, образец магнетика представляет собой монокристалл, то, даже в случае линейной связи, одной константы для описания его свойств недостаточно. В общем случае магнитные восприимчивость и проницаемость оказываются величинами тензорной природы:

apHp; a, C = х, у, z. E.7)

Р Р

Геометрические особенности данного магнитоактивного образца, помимо

анизотропных зависимостей χ_αβили μ_αβ, обусловленных строением вещества магнетика, представляются обычно так называемым фактором размагничивания N_αβ. Он как раз и учитывает форму образца и геометрию приложенного к нему внешнего поля. При использовании этого фактора можно уже без всяких оговорок рассматривать внешнее поле Н_(вн) как вакуумное поле токов проводимости, но действующее поле в веществе оказывается от него отличным:

р

Из уравнения (5.2), а равно и всей процедуры с вектор-потенциалом следует,

что для величины В можно пользоваться теоремой о циркуляции или, что

то же, законом Био и Савара, рассматривая (j _miCro) как некий ток, дополнительный к току проводимости. Это и есть ток намагничения. Необходимо только помнить, что сопротивление этому току равно нулю, поэтому он не фигурирует ни в законе Ома, ни в законе Джоуля-Ленца. Не следует также подставлять этот ток в теорему циркуляции для Н. Не всегда просто перевести на этот язык эффект размагничивающего фактора. Но иногда такая модель отклика магнетика на внешнее поле оказывается для решения задач

удобнее, чем модель магнитной восприимчивости; очевидно, физически они

совершенно эквивалентны.

Дата добавления: 2014-01-11