Критерій Вальда

План

9.1. Критерій Вальда

9.2. Критерій крайнього оптимізму (кращий із кращих)

9.3. Мінімаксний критерій Севіджа

9.4. Критерій узагальненого максиміна Гурвіца

9.5. Принцип недостатнього обґрунтування Лапласа

У теорії стратегічних ігор передбачалося, що в них беруть участь два гравці, інтереси яких протилежні. Тому дії гравців спрямовані на збільшення виграшу одного гравця і зменшення програшу другого.

Однак у багатьох задачах, що прирівнюються до ігрових, невизначеність викликана відсутністю інформації про умови, у яких відбувається дія. Ці умови залежать не від свідомих дій одного гравця, а від об'єктивної дійсності, що прийнято називати природою. Такі ігри називають статистичними.

Статистичні ігри (моделі)- це гра двох осіб - людини і природи - з використанням людиною додаткової статистичної інформації про стани природи.

Тут природа не є розумним гравцем, що прагне вибрати для себе оптимальні стратегії. Цей гравець не зацікавлений у виграші. Інша справа - людина, у даному випадку статистик. Він має на меті виграти гру з уявлюваним супротивником, тобто з природою. Гравець-природа не вибирає оптимальної стратегії, але статистик повинен прагнути до визначення розподілу ймовірностей стану природи.

Статистик (гравець А) намагається діяти обачно, використовуючи, наприклад, мінімаксну стратегію, що дозволяє одержати найменший програш.

Гравець-природа діє зовсім випадково, можливість стратегії визначається як її стан, наприклад, умови погоди в даному районі, попит на продукцію, обсяг перевезень, вантажопотік і т. д.

Отже, основними відмінностями статистичної гри від стратегічної є:

- відсутність прагнення до виграшу в гравця-природи, тобто відсутність антагоністичного супротивника;

- можливість другого гравця-статистика провести статистичний експеримент для одержання додаткової інформації про стратегії природи.

Так, наприклад, статистик, що працює у фірмі «Одяг», може вивчити багаторічні дані про погодні умови в місцевостях, де одяг буде продаватися, і в залежності від найбільш ймовірного стану погоди виробити рекомендації, куди і яка кількість партій виробів відправляти, де вигідніше і на якому рівні провести сезонне зниження цін і т. д. Таким чином, теорія статистичних рішень є теорією проведення статистичних спостережень, обробки цих спостережень і їхнього використання.

У статистичних іграх використовуються такі поняття: функція ризику, функція втрат, функція рішень. Умови гри задаються у вигляді матриці А = ||a_ij||- це множина рішень статистика. В = ||в_ij|| - це множина рішень природи. Елемент а_ij дорівнює виграшу гравця А, якщо він використовує стратегію A_i а природа має стан В_j. У ряді випадків при розв'язанні гри розглядають матрицю ризиків R = ||r_ij||.

Елементи матриці ризику r_ij— це різниця між виграшем, що одержав би статистик А_i, якби знав стан природи В_j і виграшем, який він одержить у тих же умовах, застосовуючи стратегію А_i.

r_ij = β_ij - α_ij (1)

Однак у цих випадках не можна стверджувати, що прийняте рішення є оптимальним. Оптимальним воно є тільки щодо прийнятого розподілу імовірностей станів природи. Якщо ж питання розподілу ймовірності і природи невідоме, можна скористатися:

1.Максимінним критерієм Вальда чи критерієм крайнього песимізму;

2.Мінімаксним критерієм Севіджа (теж критерій крайнього песимізму);

3.Критерієм крайнього оптимізму;

4.Критерієм узагальненого максиміна Гурвіца (критерій песимізму-оптимізму).

Отже, якщо питання розподілу ймовірностей станів природи не вирішений, то використовують класичні критерії прийняття рішень в умовах невизначеності.

Один з них— критерій Вальда, критерій крайнього песимізму. Він аналогічний підходу, застосовуваному в стратегічних іграх, де супротивник вкрай агресивний. Критерій орієнтує особу, що приймає рішення, на вкрай обережну лінію поводження, тому ним користуються у випадках, коли необхідно забезпечити успіх за будь-яких можливих умов.

Можливі два підходи — коли рішення приймається, виходячи з матриці виграшів (наприклад, прибутків) чи виходячи з матриці програшів.

Відповідно до критерію Вальда, якщо розглядається матриця виграшів гравця А то найкращим рішенням буде те, для якого виграш виявиться максимальним із усіх мінімальних, при різних варіантах умов. Цей принцип називається критерієм максиміна.

Формалізований вираз максиміна виглядає так:

H_{w =} max_j min_i a_ij

H_w= max_i α_i

α_{i =} min_j a_ij

Максимінний критерій Вальда використовується у випадках, коли потрібна гарантія, щоб виграш у будь-яких умовах виявився не менший, ніж найбільший з можливих у гірших умовах (кращий з гірших).

Якщо розглядається матриця програшів гравця А, то найкращим рішенням відповідно до критерію Вальда буде те, для якого програш виявиться мінімальним із усіх максимальних, при різних варіантах умов. Цей принцип називається критерієм мінімакса.

Формалізований вираз мінімакса виглядає так:

H_{w =} min_i max_j a_ij

H_{s =} min_i β_i

β_{i =} max_j a_ij

Мінімаксний критерій Вальда використовується у випадках, коли потрібна гарантія, щоб програш у будь-яких умовах виявився не більший, ніж найменший з можливих у гірших умовах (кращий з гірших).

Дата добавления: 2014-01-11