Чувствительность численного решения к погрешности исходных данных

Погрешности машинной арифметики

В данном курсе не рассматриваются

Рассмотрим примеры чрезмерной чувствительности.

Пример 1.1 Вещественный корень уравнения

где очень малое положительное число, а натуральное достаточно велико. Тогда естественно заменит нулем и положить . В данном случае абсолютная погрешность составит величину . Много это или мало – судить об этом можно придавая и численные значения. Например, взяв , =10, получим абсолютную погрешность корня , равную 0.1. Относительная погрешность при этом может оказаться сколь угодно большой, если взять сколь угодно малым.

Пример 1.2 Пример Уилкиксона. Определение корней многочлена.

Многочлен

имеет 20 хорошо отделимых корней: . Предположим, что только в одном его коэффициенте, а именно при сделана ошибка: вместо в развернутый вид многочлена поставлено число . Полученный при этом так называемый возмущенный многочлен будет иметь следующие корни: , , , , , , , , .

Как видим, весьма малое возмущение (сопоставимое с одинарной машинной точностью проводимых расчетов) всего лишь в одном коэффициенте даже качественно изменило набор корней данного многочлена: половина из них перестали быть действительными.

Пример 1.3 Решение линейной системы.

В данном случае имеем единственное решение , . Допустив абсолютную погрешность в 0.01 в правой части одного уравнения, получим возмущенную систему:

с единственным решением , .

Пример 1.4 Вычисление определенного интеграла.

Для вычисления интегралов вида

,

где , с помощью метода интегрирования “по частям” легко вывести рекуррентную формулу

; ; . (1.5)

Вычисление значений данного интеграла по рекуррентной формуле (1.5) на различных ЭВМ (несмотря на то, что на некоторых из них велись вычисления с мантиссами более 10 десятичных разрядов) не дал ни одного верного результата, точнее результат не имел ни одной верной цифры! Например, при спектр вычислений значения интеграла лежал в границах . Причина подобного явления – в числовой неустойчивости схемы (1.5). Безупречная в теоретическом плане, она совершенно непригодна с позиции вычислительной математики, поскольку неизбежная погрешность стартового значения при подсчете увеличивается в раз, т.е. катастрофически возрастает.

Если примеры 1‑3 указывали на существование неустойчивых задач, то в четвертом примере видно проявление неустойчивого метода вичислений. Последним, как правило, есть альтернативы.

В данном случае можно воспользоваться равенством (1.5), переписав его в виде

. (1.6)

Учитывая, что и , для некоторого фиксированного можно вести счет по формуле (1.6) при , задавшись значением . Так как начальная погрешность на каждом шаге теперь уменьшается в раз, то такой алгоритм будет численно устойчив. Значение при этом может быть определено экспериментально путем подбора.

Дата добавления: 2014-01-11