Линейных алгебраических систем

Погрешность решения и обусловленность

Рассмотрим линейную алгебраическую систему

, (1.7)

где невырожденная -матрица коэффициентов; ненулевой -мерный вектор свободных членов; -мерный вектор неизвестных.

Пусть правая часть получила приращение (возмущение) , т.е. вместо истинного вектора используется приближенный вектор +. Реакцией решения будет вектор поправок . То есть можно записать:

. (1.8)

Определение 1. Нормой вектора называется такое действительное число, обозначаемое , что:

1. , причем ;

2. ;

3. .

Определение 2. Нормой матрицы называется такое действительное число, обозначаемое , что:

1. , причем ;

2. ;

3. ;

4. (произвольная -матрица);

5. Условие согласованности .

Понимая под абсолютной погрешностью приближенного вектора норму разности между точным и приближенным векторами, а под относительной погрешностью – отношение абсолютной погрешности к норме вектора, выясним связь между относительными погрешностями вектора свободных членов и вектора-решения, получим оценку вида

,

где неизвестный пока коэффициент связи.

Из (1.7) и (1.8) имеем , откуда

. (1.9)

Нормируя равенства (1.7) и (1.9), будем иметь

и ,

где матричная норма должна быть согласована с выбранной векторной нормой. Перемножая два числовых неравенства получаем:

. (1.10)

Положительное число коэффициент этой связи – называется числом (мерой) обусловленности (conditioned – обусловленный) матрицы .

Легко показать, что то же самое число служит коэффициентом роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицы в (1.7). А именно если матрица получила возмущение и решение возмущенной системы

,

то справедливы неравенства

и . (1.11)

В общем случае справедливо утверждение:

Теорема 1.1 Пусть исходное, а возмущенное линейные операторные уравнения с относительными уровнями возмущений

и .

Тогда, если , то эти уравнения одновременно однозначно разрешимы и справедлива оценка относительной погрешности решения;

.

Итак, чем больше число обусловленности, тем сильнее сказывается на решении линейной системы ошибки в исходных данных.

Очевидно, число обусловленности зависит от выбора матричной нормы (индуцированной, как правило, той или иной векторной нормой, в терминах которой характеризуется относительная погрешность решения алгебраической системы). Можно получить оценку числа обусловленности через собственные числа матрицы. Действительно, пусть собственные числа матрицы упорядочены по модулю:

,

т.е. спектральный радиус матрицы есть . Тогда в силу известного неравенства и соотношения между собственными числами прямой и обратной матриц, имеем

.

Таким образом, оценкой снизу меры обусловленности матрицы может служить величина (называемая иногда числом обусловленности Тодда). Итак, можно сказать, что число обусловленности показывает величину отношения наибольшего коэффициента растяжения вектора посредством линейного преобразования к наименьшему коэффициенту.

Рассмотрим теперь пример неустойчивости системы в Примере 3. Матрица коэффициентов системы . Решая характеристическое уравнение , находим собственные числа матрицы : и , дающие оценку . Учитывая, что в данном примере , , на основании (1.10) получаем следующую оценку относительной погрешности решения в -нормах:

.

Так как норма максlимум решения равна 1, то оценка абсолютной погрешности решения суть

.

Дата добавления: 2014-01-11