Понятие о статически неопределимых системах и методах их расчетов

Выше рассматривались простые элементы конструкций в виде одиночных стержней с простейшими опорными закреплениями, в которых для определения реакций в опорных связях и внутренних усилий в любых сечениях достаточно применить соответствующие уравнения статического равновесия. Такие конструкции называются статически

определимыми системами. В инженерной практике применяется много конструкций, в которых количество наложенных внешних опорных и/или внутренних связей превышает число уравнений статики, которые могут описать равновесие этих конструкций и их элементов. Рассчитать все реакции в опорных связях и внутренние усилия во всех поперечных сечениях таких конструкций с помощью одних только уравнений статики нельзя, поэтому они называются статически неопределимыми конструкциями (системами). Для расчета статически неопределимых конструкций, кроме уравнений статики, приходится составлять (по специальной методике) и применять дополнительные уравнения, учитывающие особенности совместного деформирования элементов конструкции в процессе воздействия на нее внешних нагрузок или других факторов.

Общая методика расчета статически неопределимых конструкций (систем):

1) Проводится статический анализ системы (создается эквивалентная схема системы с освобождением конструкции от опорных связей, которые заменяются силами реакций этих связей; составляется система уравнений статического равновесия, в которые входят известные и неизвестные силовые факторы; определяется количество «избыточных» силовых факторов в уравнениях статики, которое называется степенью статической неопределимости конструкции: п_с = п_н – п_у, где п_н – количество неизвестных силовых факторов в уравнениях статики, п_у – количество самих уравнений статики, описывающих равновесие конструкции); если п_с = 0, то система статически определима и для ее расчета будут достаточны только уравнения статики; если п_с = 1, то система один раз статически неопределима; если п_с = 2, то система дважды статически неопределима и т. п.;

2) Осуществляется деформационный анализ конструкции, т. е. рассматривается ее переход из недеформированного (ненагруженного) состояния в деформированное (с действующими заданными внешними нагрузками) состояние; из сопоставления деформированной и недеформированной схем анализируются совместные деформации элементов конструкции и составляются уравнения совместности деформаций элементов, усилия в которых неизвестны; количество этих уравнений совместности деформаций должно быть равно степени статической неопределимости системы п_с;

3) На основе уравнений совместности деформаций составляются дополнительные силовые уравнения, количество которых равно п_с; при этом для преобразования уравнений совместности деформаций в дополнительные силовые уравнения применяются разные методы и физические законы, в частности, закон Гука, связывающий между собой усилия и деформации; таким образом, общее количество силовых уравнений (уравнения статики + дополнительные силовые уравнения) становится равным п_н = п_у + п_с и их совместное решениепозволяет определить все силовые факторы в статически неопределимой системе;

4) Выполняется раскрытие статической неопределимости системы, т. е. совместно решаются уравнения статики и дополнительные силовые уравнения с целью вычисления всех неизвестных силовых факторов в статически неопределимой системе;

5) Дальнейший расчет статически неопределимой конструкции не отличается от расчета статически определимых конструкций (методом сечений определяются внутренние усилия и напряжения, рассчитываются деформации и перемещения поперечных сечений, проводятся расчеты на прочность и жесткость и т. д.).

Рассмотрим применение этой методики на простейшем примере.

На рисунке 29,а приведена схема однородного одиночного стержня ОВ, оба конца которого жестко закреплены (заделаны), известные исходные данные следующие: в точке С центральной оси стержня приложена заданная внешняя равнодействующая сила F; общая длина стержня ОВ = l = const; площадь поперечных сечений А на всей длине l стержня одинакова; положение точки С задано и длины участков равны l_OC и l_CB. Так как стержень однороден, то модуль его продольной упругости по всей длине E = const. Требуется раскрыть статическую неопределимость этой конструкции.

О С В О С В

F N_O F N_B

l_OC l_CB l_OC –Δl_OC l_CB +Δl_CB

l l = const

а) б)

Рисунок 29. К расчету статически неопределимого стержня: а) исходная схема;

б) эквивалентная схема с освобождением от опорных связей

Дата добавления: 2014-01-11