Понятия о радиусах инерции плоских фигур

Min)

у dA

(max) 1

y₁

x₁

α α_o

C х x

площадь А

Рисунок 38. К определению положения главных осей и значений главных моментов инерции площади фигуры

Осевой момент инерции площади А относительно оси х₁:

Таким образом, получаем выражение момента инерции относительно оси х₁:

. (60)

Аналогично можно получить момент инерции относительно оси у₁:

(61)

Для центробежного момента инерции аналогичным путём можно получить формулу:

(62)

Из рисунка 38 видно, что (по теореме Пифагора, где ρ – гипотенуза)

Поэтому очевидно, что полярный момент инерции при повороте осей не изменяется:

(63)

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей при повороте их на любой угол α есть величина постоянная. При этом с изменением угла α один из моментов инерции в сумме увеличивается, а другой на столько же уменьшается. Следовательно, существует такое значение α = α_о, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, а другой – минимального значения. Такие экстремальные значения осевых моментов инерции называется главными моментами инерции, а соответствующие им оси – главными осями

(взаимно перпендикулярными друг к другу).

Дифференцируя выражение по и приравняв производную нулю, можно получить значение угла (см. рисунок 38), на который нужно повернуть оси х и у, чтобы получить направления главных осей 1 (ось max) и 2 (ось min):

или

откуда

(64)

По полученному тангенсу можно найти для угла два значения, отличающиеся одно от другого на . Эти углы определяют положение двух взаимно перпендикулярных осей 1 (ось max) и 2 (ось min) фигуры, относительно которых момент инерции ее площади А имеет наибольшее и наименьшее значения. Для определения этих главные осевые моменты инерции и , вернёмся к ранее записанным выражениям для моментов :

(65)

. (66)

Так как

то с помощью выражения

после преобразований можно исключить угол , получая в результате формулу для определения значений главных моментов инерции площади плоской фигуры:

(67)

где верхний знак (+) – для , а нижний (–) – для .

Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости фигуры. Однако практическое значение для расчётов элементов конструкций имеют только главные оси, проходящие через центр тяжести площади поперечного сечения стержня, то есть главные центральные оси инерции. Моменты инерции относительно этих осей называются главными центральными моментами инерции.

Центробежный момент инерции относительно главных осей равен нулю. Действительно если вернуться к производной

которую мы выше определяли для выявления угла наклона главных осей к осям х и у, то сравнивая ёе выражение с выражением

учитывая, что

т. е.

Определить, относительно какой из главных осей главный момент инерции будет , а относительно какой , легко по знаку второй производной по :

Если вторая производная для данного значения угла будет со знаком минус, то выбранному значению угла соответствует максимум и обратно.

Для практических расчетов удобно применять формулы для определения значений одиночных углов, определяющих положения конкретных главных осей инерции фигуры:

; , (68)

где α₁ – угол между осью х и осью, относительно которой момент инерции равен , а угол α₂ – угол между осью х и осью, относительно которой момент инерции равен .

Положительные углы откладываются от оси х против хода часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке.

Следует отметить, что у симметричных фигур расположение главных центральных осей очевидно. Если фигура имеет одну ось симметрии, то ось симметрии заведомо является одной из главных осей инерции фигуры, а другая главная центральная ось проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна к оси симметрии. Если фигура имеет две оси симметрии, то они и являются ее главными центральными осями инерции.

При инженерных практических расчётах в большинстве случаев конечной целью вычислений геометрических характеристик поперечных сечений стержней, представляющих собой те или иные плоские (нередко сложной формы) фигуры, является определение их главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции.

При решении задач устойчивости стержней приходится оперировать понятием радиуса инерции плоской фигуры, представляющей собой сечение стержня.

Осевые моменты инерции, помимо рассматриваемых выше выражений, могут быть также представлены формулами:

откуда радиусы инерции для осей х и у равны:

(69)

Отметим, что радиусы инерции не следует смешивать с координатами центра тяжести фигуры.

Радиусы инерции, вычисленные для главных центральных осей, называются главными центральными радиусами инерции фигуры:

(70)

Контрольные вопросы:

1) Что называется статическим моментом площади сечения тела относительно оси? Каковы единицы измерения статического момента?

2) Что называется центральными осями плоской фигуры? Чему равен статический момент площади относительно центральной оси?

3) Напишите и объясните формулы для определения координат центра тяжести площади плоской фигуры.

4) Для каких плоских фигур при определении положения их центра тяжести достаточно вычислить лишь одну координату?

5) Дайте определения осевым, полярному и центробежному моментам инерции площади плоской фигуры. Каковы единицы их измерения? Какие моменты инерции всегда положительны, а какие могут иметь разные знаки и равны нулю?

6) Чему равна сумма осевых моментов инерции площади плоской фигуры относительно взаимно перпендикулярных осей?

7) В каких случаях центробежному моментам инерции площади плоской фигуры равны нулю? Как изменится центробежный момент инерции при повороте координатных осей на угол 90^о?

8) Напишите формулы для расчетов моментов инерции прямоугольника, равнобедренного треугольника, круга и кругового кольца относительно собственных центральных осей.

9) Относительно каких центральных осей фигуры осевые моменты инерции имеют наименьшее и наибольшее значения?

10) Запишите формулы для определения моментов инерции относительно осей, параллельно смещенных относительно собственных центральных осей площадей фигур.

11) Напишите и объясните формулы для определения осевых и центробежного моментов инерции фигуры при повороте осей.

12) Как определяется положение главных осей плоской фигуры?

13) Напишите формулы для определения главных моментов инерции площади плоской фигуры.

14) Напишите формулы для определения радиусов инерции площади плоской фигуры.

ГЛОССАРИЙ

	Площадь плоской фигуры	The area of a flat figure
	Статический момент площади фигуры	The static moment of the area of a figure
	Центр тяжести плоской фигуры	The centre of gravity of a flat figure
	Моменты инерции плоской фигуры	The moments of inertia of a flat figure
	Осевой момент инерции фигуры	The axial moment of inertia of a figure
	Полярный момент инерции фигуры	The polar moment of inertia of a figure
	Центробежный момент инерции фигуры	The centrifugal moment of inertia of a figure
	Главные оси инерции плоской фигуры	The main axes of inertia of a flat figure
	Главные моменты инерции плоской фигуры	The main moments of inertia of a flat figure
	Радиусы инерции плоской фигуры	Radiuses of inertia of a flat figure

Рекомендуемая литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. Учебник для вузов – М.: Высш. шк., 2001. – 560 с. (с. 108…125; 128…133).

2. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. школа, 1983. – 303 с. (с. 78…91).

3. Справочник по сопротивлению материалов/Писаренко Г.С. и др. – Киев: Наукова думка, 1988. – 737с. (с. 10…20; 24…97).

Контрольные задания для СРС.

1) Вычислить координаты центра тяжести площади фигуры с размерами на рисунке 35 (см. п. 7.2).

2) Радиусы инерции площадей поперечных сечений элементов конструкций (см. п. 7.7).

3) Расширить подготовку по материалам учебной литературы (с. 108…125; 128…133; [2], с. 78…91; [3], с. 24…97).

Лекция 11. Тема 8. «Плоский изгиб статически определимых стержней (балок)»

Цель лекции – рассмотреть определение ВСФ в сечениях изгибаемых стержней (балок) и построение эпюр ВСФ, важные для практики инженерных расчетов, дать основные направления углубленного их изучения.

План лекции (курсивом – материалы для СРС)

1. Общие положения об изгибаемых стержнях (балках), сущность деформации плоского изгиба.

2. Применение метода сечений для определения ВСФ и построения эпюр ВСФ для балок, правило знаков. П остроения эпюр внутренних усилий в разных балках.

Дата добавления: 2014-01-11