Распределение Больцмана

В отсутствие внешних сил средняя концентрация п молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одина­кова.

Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуа­ция становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находяще­гося под действием силы тяжести.

Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому.

В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается не­которое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты.

Найдем эту зависимость.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (кон­сервативных) сил, действующих для простоты в одном направ­лении и зависящих только от координаты z.

При тепловом рав­новесии температура Т должна быть одинакова по всей толщи­не газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем счи­тать, что

· силы внешнего поля на­правлены вниз,

· а ось Z — вверх (рис. 10).

Выделим мысленно бес­конечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S = 1).

Запишем условие равновесия этого слоя, ис­пользуя гидростатический подход.

На слой dz действует

- направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0),

- и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля.

При равно­весии должно соблюдаться равенство (8)

где — проекция внешней силы, действующей на каждую мо­лекулу.

Заметим, что левая и правая части этого равенства яв­ляются отрицательными.

Из механики известно, что

где U — потенциа­льная энергия молекулы во внешнем поле.

Поэтому (8) мож­но переписать так: .

Будем считать газ идеальным.

Подставим давление из основного уравнения МКТ p = nkT,

продифференцировав, получаем dp = dnkT.

Тогда , или

Проинтегрировав последнее уравнение, получим .

Будем считать, что и ,

Тогда Этот закон и выражает распределение Больцмана.

С помощью распределения Больцмана можно найти число молекул в интересую­щем нас элементарном объеме dV:

При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является вы­полнение условия: во всех точках объема dV концентрация n должна быть одинаковой.

Приведенный вывод фор­мулы распределения Больцмана является чисто гидростатическим: в нем мы по сути рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры.

Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений.

Не­обходимо, чтобы средний свободный пробег молекул между по­следовательными столкновениями был мал по сравнению с тол­щиной dz слоя.

Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, которое действует на слой dz со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному ре­зультату.

Дата добавления: 2014-01-11