Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f Î R_I, a Î I, x Î I. Рассмотрим функцию: .

Прежде отметим два простых факта:

а). Непрерывность интеграла, как функции верхнего предела:

.

б) Дифференцируемость интеграла, как функции верхнего предела: f Î R_I, f непрерывна в x ₀Î I, то дифференцируема в точке x ₀, причём производная по верхнему пределу совпадает со значением подынтегральной функции в точке x ₀: .

= = = =

= .

т.е. .

Далее:

в) Существование первообразной у непрерывной функции. Если f (x) непрерывна на промежутке, то у неё существует первообразная, которая с точностью до постоянного слагаемого является определённым интегралом от этой функции с переменным верхним пределом

F ¢(x) = f (x) " x Î I, где f (x) непрерывна по условию.

г) Обобщённая первообразная. Функция F (x) называется обобщённой первообразной для

f (x) на I, если F ¢(x) = f (x) всюду на I, кроме может быть не более чем счётного множества точек. Пример т.е. | x | – обобщённая первообразная для sgn x.

Обобщённые первообразные отличаются не более, чем на постоянное слагаемое:

Þ .

Т°. Всякая непрерывная на некотором промежутке функция, производная которой существует и равна нулю всюду кроме, не более чем счётного числа точек является константой. D▲

«канторова-лестница»

F ¢(x) = 0 " x Î С С – множество точек разрыва т.к. m(С) = 0, то F ¢(x) = 0 п.в. на [0, 1] по F (x) не константа (т.е. не более чем счётное число точек и множество лебеговой меры нуль не одно и тоже).

д). Если функция f (x) на I имеет обобщённую первообразную,то [ a, b ] Ì I

.

Записанная выше формула и есть формула Ньютона–Лейбница, связывающая интегральное исчисление с дифференциальным и, позволяющая вычислять определенные интегралы с помощью первообразных.

D В равенстве положим x = a Þ Þ C = – F(a) Þ

Þ или, что тоже самое .▲

Дата добавления: 2014-01-11