Теоремы Гульдина

Т°. (Первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, которую описывает кусочно-гладкая плоская кривая, вращаясь вокруг оси лежащей в той же плоскости (причем кривая не пересекает ось вращения) равна длине кривой умноженной на длину окружности, которую описывает геометрический центр масс кривой.

D (рис. а) – масса кривой численно совпадает с длиной кривой при плотности , статический момент кривой равен , ордината геометрического центра масс находится по формуле . Так как кривая лежит по одну сторону от оси вращения, её ординаты все одного знака, тот же знак имеет М, то есть и, следовательно, , что и тр. док. ▲

Т°. (Вторая теорема Гульдина). Объём тела, описанного плоской фигурой с кусочно-гладкой границей при вращении вокруг оси, которая лежит в одной плоскости с фигурой, по одну сторону от неё равен площади фигуры умноженной на длину окружности, которую описывает геометрический центр масс фигуры.

D (рис. б). Масса численно совпадает с площадью – , статический момент относительно оси ординат равен . Здесь – ордината геометрического центра масс элементарной полоски, которая имеет ширину и площадь . Тогда ордината центра масс равна . Поскольку ординаты всех точек фигуры положительны и положительны соответствующие моменты, получаем:

. ▲

Пример применения теорем Гульдина:

Рассмотрим тор, т.е. тело, полученное вращением круга вокруг прямой, лежащей в той же плоскости, что и круг. Причем прямая не имеет с кругом общих точек и находится на расстоянии а от центра круга радиуса , . Тогда применяя первую и вторую теоремы Гульдина, получаем: и .

Можно рассмотреть объём и площадь поверхности обобщенного тора, т.е. тела полученного вращением не окружности а, например, ромба или квадрата или каких либо других фигур.

РАЗДЕЛ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Дата добавления: 2014-01-11