Функциональные ряды. Ряд , у которого слагаемыми являются функции, называется функциональным рядом

Ряд , у которого слагаемыми являются функции, называется функциональным рядом. Областью определения функционального ряда является пересечение областей определения отдельных его слагаемых.

Для функциональных рядов рассматривается поточечная сходимость (т.е. ряд называется сходящимся в точке , если при подстановке вместо x получается сходящийся числовой ряд). Множество x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Рассмотрим степенной ряд .

Исследуем абсолютную сходимость ряда с помощью признака Коши:

.

Для сходимости необходимо, чтобы , т.е. степенной ряд сходится абсолютно в круге радиуса . R – называется радиусом сходимости степенного ряда. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда. На границе круга сходимости ряд может, как сходиться, так и расходиться. Абель установил, что на границе круга сходимости (в комплексной плоскости) существует, по крайней мере одна точка, в которой ряд сходится абсолютно.

Вне круга сходимости ряд расходится, ибо общий член ряда не стремится к нулю.

С помощью признака Даламбера может быть получена еще одна формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда: .

Примеры: Для следующих функциональных рядов установить области сходимости:

1°. ; 2°. ;

3°. ;

4°. ;

5°. ;

6°. .

Дата добавления: 2014-01-11