Функции непрерывные в области

Def: Функция непрерывна на множестве М, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Тº. (аналог теоремы Больцано - Коши). Пусть функция непрерывна в связной области D и такие, что тогда в области существует точка , в которой .

Δ. Соединим точки ломаной, принадлежащей области D. Если последовательно перебирать вершины ломаной, то окажется, что:

• либо в какой – то вершине функция равна нулю и тогда теорема доказана.

• либо это не так и, следовательно, найдется отрезок ломаной, на котором функция имеет разный знак на концах. Переобозначим концы этого отрезка как .

Уравнение этого отрезка прямой имеет вид: .

Тогда, при движении вдоль прямой исходная функция становится функцией одного переменного t: , которая непрерывна, как суперпозиция непрерывных функций и к ней применима соответствующая теорема для функции одного переменного: .▲

1 -я теорема Вейерштрасса. Если определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она ограничена на нем, т.е. .

Δ. От противного. Пусть неограниченна. Тогда .

Имеем последовательность . Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность и т.к. предельная точка замкнутой области D, , то из непрерывности следует, что , что противоречит .▲

2-я теорема Вейерштрасса. Еслиопределена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.

Δ. (Докажем для верхней границы). Пусть . Т.к. М - точная верхняя грань, то

Построена п оследовательность ; извлекаем из нее сходящуюся подпоследовательность . Тогда , ибо функция непрерывна и, кроме того, . В пределе , но больше быть не может Þ . ▲

Дата добавления: 2014-01-11