Формула Тейлора. Напоминание: Для функции одного переменного F(t) ранее была получена формула ее разложения в ряд Тейлора (по формуле Тейлора) в дифференциальной форме:

Напоминание: Для функции одного переменного F (t) ранее была получена формула ее разложения в ряд Тейлора (по формуле Тейлора) в дифференциальной форме:

, где величина .

При этом, – в левой части и dt ­– в правой части совпадают.

В этом виде формула Тейлора справедлива и для функций нескольких переменных.

В дальнейшем, для упрощения письма ограничимся рассмотрением функции двух переменных .

Т°. Пусть u = f (x, y) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет в этой окрестности непрерывные производные до (n +1)^-го порядка включительно. Пусть и таковы, что точка принадлежит указанной окрестности.

Тогда: =

= , где . При этом в левой части, совпадают с dx и dy в правой части.

Δ. Соединим точки Р и Р ₀ прямолинейным отрезком, принадлежащим упомянутой в формулировке теоремы, окрестности: ; ; .

Подставляя это в , получим .

Тогда: =

= , где .

При этом dt в правой части равенства равно Δ t =1–0 =1.

Теперь воспользуемся тем, что при линейной замене переменных высшие дифференциалы инвариантны по форме. (*)

Аналогично для , ,…,и .

Подставляя в формулу (*) получаем требуемое. ▲

Дата добавления: 2014-01-11