Криволинейные интегралы 1го рода

Def: Если в Е ₃ задана вектор-функция , и при этом x (t), y (t), z (t) C_[a,b], C¹_[a,b], то говорят, что в Е ₃ задана гладкая кривая L.

Пусть на кривой L задана скалярная функция f (x, y, z).

Замечание: Если t ₁, t ₂ такие, что x (t ₁) = x (t ₂), y (t ₁) = y (t ₂), z (t ₁) = z (t ₂), то кривая L имеет самопересечение, но, при этом f (x (t₁), y (t ₁), z (t ₁)) не обязательно совпадает с f (x (t ₂), y (t ₂), z (t ₂)), поэтому, записывая f (x, y, z) мы будем иметь в виду f (x (t), y (t), z (t)).

Рассмотрим промежуток [ a, b ] изменения параметра t, и на [ a, b ] зададим разбиение P с отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ).

Разбиение (Р,ξ) отрезка [ a, b ] индуцирует разбиение кривой L с отмеченными точками.

Рассмотрим: , где – длина хорды, соединяющей концы соответствующего участка кривой. Если такой предел существует и конечен, то он называется криволинейным интегралом 1^го рода, и обозначается .

Физический смысл криволинейного интеграла 1^го рода – масса кривой L с линейной плотностью масс f (x, y, z).

Для нахождения элемента длины дуги будут полезны следующие формулы:

1⁰. Для плоской кривой, заданной в декартовых координатах:

dl = (по теореме Пифагора, см. рис. а).

В частных случаях различных способов задания кривой L получаем:

1а. Если y = y (x), то dl = ;

1б. Если x = x (y), то dl = ;

1в. Если x = x (t), y = y (t), то dl = ;

2⁰. Для плоской кривой, заданной в полярных координатах x = ρcosφ, y = ρsinφ:

dl = . Формула эта может быть получена и непосредственно из криволинейного треугольника (см. рис. б).

2а. Если , то dl = ;

2б. Если , то dl = ;

2в. Если , то dl = ;

3⁰. Для пространственной кривой, заданной в декартовых координатах:

dl = .

3а. Если , то dl =;

4⁰. Если f (x, y, z) = 1 то криволинейный интеграл 1^го рода численно равен длине кривой и кривая называется спрямляемой.

5⁰. Криволинейный интеграл 1^го рода может быть сведен к обычному интегралу Римана. Пусть . Тогда

. При этом .

Формула следует из определения.

4⁰. Криволинейный интеграл 1^го рода не зависит от направления интегрирования:

.

Примеры:

1⁰. Вычислить: J=, где кривая L: .

Параметрическое уравнение эллипса: Þ

dl = .

Эллипс пробегается против часовой стрелки, хотя это указывать не обязательно.

И тогда:

J = = =

= .

2⁰. Найти массу кривой L: y = ln x для , если ρ = x ² линейная плотность кривой.

M = =

= =.

3⁰. Найти силу притяжения точки А массы m однородной полуокружностью радиуса R с центром в точке А. ().

Отметим, что сила притяжения это вектор , который из соображений симметрии направлен вверх. Найдем F_y (т.к. F_x = 0).

dF_y =, где G – гравитационная постоянная, dl = R dφ; Следовательно: F_y = .

Дата добавления: 2014-01-11