Криволинейные интегралы 2го рода

Def: Пусть в Е ₃ задана вектор-функция , и при этом x (t), y (t), z (t) C_[a,b], C¹_[a,b], т.е. в Е ₃ задана гладкая кривая L.

Пусть на кривой L задана векторная функция:

.

Рассмотрим промежуток [ a, b ] изменения параметра t, и на [ a, b ] зададим разбиение P с отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ). Разбиение (Р,ξ) отрезка [ a, b ] индуцирует разбиение кривой L с отмеченными точками. И рассмотрим:

.

Если такой предел существует, то он называется криволинейным интегралом 2^го рода и обозначается: .

Геометрический смысл криволинейного интеграла 2^го рода – работа силового полявдоль кривой L.

1⁰. Если, и при этом x (t), y (t), z (t) C _[a,b], C ¹_[a,b],

=

= .

Эта формула дает способ вычисления криволинейного интеграла 2^го рода сведением к интегралу Римана, и следует из определения, в котором в левой части фактически записана интегральная сумма для интеграла стоящего в правой части.

2⁰. Формула для вычисления криволинейного интеграла 2^-го рода:

.

Здесь – единичный вектор касательной к кривой, а – его направляющие косинусы.

3⁰. .

4⁰. Формула Грина. Пусть G – плоская область и γ – кусочногладкий контур, являющийся границей области G. Пусть в заданы P (x, y) и Q (x, y), непрерывные в G вместе с и . Тогда: .

Замечание: γ⁺ - означает, что контур γ проходится в положительном направлении – т.е. против часовой стрелки (при обходе контура левая рука все время находится в области.

Δ. Рассмотрим:

= .

Здесь учтено, что интегралы и равны нулю из-за того, что на промежутках BC и DA .

Таким образом: =. Аналогично: =.

После сложения двух полученных формул, получаем доказываемую формулу. ▲

Примеры:

1⁰. Вычислить , если кривая L соединяет точки от (0,0) до (1,1).

a. y = x; б. y = x ²; в. x = y ².

а). J = .

б). J = .

в). J = .

Выясняется, что интегралы получаются разные, т.е. значение интеграла зависит не только от начальной и конечной точек кривой, но и от самой кривой L.

2⁰. Вычислить вдоль тех же кривых, что и в предыдущей задаче.

a) J = . б) J = .

в) J = .

а в данной задаче на всех трех исследованных путях результат один и тот же. Это не означает, что и на других путях так будет, но…

г) Рассмотрим J = .

Проведенная выкладка показывает, что интеграл действительно не зависит от пути интегрирования (здесь нет никакого конкретного пути), а зависит только от начальной и конечной точки дуги.

Когда же будет наблюдаться такое явление?

Дата добавления: 2014-01-11