Теорема Гаусса-Остроградского.

Пусть в замыкании области заданы функции непрерывные на вместе со своими производными . Тогда:

.

При этом, поверхность ориентирована наружу области .

∆. а) Рассмотрим :

.

Здесь учтено, что т.к. . Получено, что

.

б) и в) получаются аналогично:

, .

Складывая три полученные формулы, получим формулу Гаусса-Остроградского. ▲

Def: Величина для векторного поля называется дивергенцией векторного поля: ,

и теперь формулу Гаусса-Остроградского можно записать так: .

*. Рассмотрим в точку и – сферу радиуса с центром в точке . Найдем:

.

(Здесь, по ходу преобразований была применена теорема о среднем).

Следовательно: ,

т.е. дивергенция векторного поля есть мощность источника силовых линий поля , расположенного в точке . Это, инвариантное относительно системы координат, определение дивергенции.

И теорема Гаусса-Остроградского может быть сформулирована так, что будет ясен ее физический смысл:

Дата добавления: 2014-01-11