Теорема Стокса. Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен суммарной мощности источников векторного поля расположенных внутри области

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен суммарной мощности источников векторного поля расположенных внутри области.

Дивергенция – еще одна, скалярная, характеристика векторного поля.

Пусть в заданы функции , непрерывные вместе со своими первыми производными Пусть замкнутый контур в , а –поверхность в натянутая на контур, причем одинаково взаимно ориентированы. Тогда:

= =

= .

∆. Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля.

а). Пусть .

б), в) Аналогично:

, .

Суммируя полученные три формулы, получаем формулу Стокса. ▲.

Def: Вектор с координатами называется ротором векторного поля . ,

и тогда формула Стокса запишется так: .

Рассмотрим , и , найдем:

следовательно:

Получили инвариантное относительно системы координат определение :

Проекция ротора векторного поля на вектор нормали к поверхности определяется пределом отношения циркуляции вдоль замкнутого контура к мере поверхности ограниченной данным контуром, когда контур стягивается в точку. И теорема Стокса:

Дата добавления: 2014-01-11