Динамика

Если в кинематике мы давали определения некоторым понятиям и величинам, то в следующем разделе классической механики – динамике, будут сформулированы законы физики, которые помогут нам ответить на вопрос: почему тела движутся по тем или иным траекториям?

§5 Импульс тела. Закон сохранения импульса.

После того, как в кинематике мы определили скорость тела, проведем эксперимент по изучению столкновений двух тел. На рис.5.1 показаны два взаимодействующих в точке А тела. Будем считать тела достаточно малыми, критерий малости нам пока определить сложно. Забегая вперед и используя понятие кинетической энергии, можно определить его следующим образом: кинетическая энергия поступательного движения тел должна быть много больше кинетической энергии их вращательного движения. Для большей определенности будем считать все тела, о которых речь пойдет ниже, материальными точками.

Мы можем измерить скорости тел до столкновения и после него.

Рис.5.1

Проанализировав результаты, мы обнаружим, что во всех столкновениях выполняется условие: (изменения векторов скоростей в различных столкновениях могут быть разными, но коэффициент k всегда будет оставаться неизменным). Для другой пары тел коэффициент k будет также неизменен, а значение его будет другим.

Из всех тел выберем одно, которое назовем эталоном. Изучая столкновения всех прочих тел с эталоном, можем измерить коэффициенты пропорциональности k ₁, k ₂, и т.д. Они определяют инертные массы тел, измеренные в единицах массы эталона. Эталонная масса в системе СИ – килограмм и она, примерно, соответствует массе 1 дм³ воды при 4 ⁰С. После определения понятия массы тела , анализ столкновений 1 и 2 тел всегда будут приводить к следующему результату:

Векторная величина - импульс тела. Если система состоит из N тел, то можно определить импульс системы как векторную сумму импульсов тел, из которых она состоит (импульс системы – величина аддитивная):

. (5.1)

Мы можем сформулировать один из фундаментальных законов природы - закон сохранения импульса, отклонений от которого еще не наблюдалось: импульс замкнутой системы сохраняется (замкнутая система – система из нескольких тел, не взаимодействующих с другими телами). Отметим, что получить этот закон природы из более фундаментальных принципов невозможно. Можно только показать связь этого закона сохранения с однородностью пространства. Мы его формулируем, обобщая результаты экспериментов.

Пользуясь только законом сохранения импульса, можно решить некоторые задачи физики. Рассмотрим две такие задачи.

1. Абсолютно неупругое соударение двух тел. После такого соударения тела движутся как единое целое. Примеры – столкновение двух кусочков пластилина (рис.5.2), столкновение метеорита или кометы с планетой, захват электрона положительно заряженным ионом, слияние двух ядер и т.д.

Рис.5.2

Импульс системы из двух тел сохраняется:

.

Можем определить скорость составного тела после удара:

.

2. Движение тела с переменной массой. Примеры такого движения – полет ракеты с работающим двигателем, в котором сгорает большое количество топлива; падение капли в перенасыщенном паре; движение сгорающего в атмосфере Земли метеорита; и т.д.

Пусть от тела (ракета с работающим двигателем) массой за время отделяется часть массой с относительной скоростью в направлении противоположном направлению движения тела (рис.5.3).

Рис.5.3

По закону сохранения импульса:

.

После проектирования на направление движения получим:

.

Под значениями ив законе сохранения импульса мы подразумевали массу ракеты и отделившуюся от нее за время массу сгоревшего топлива. Если под массой ракеты будем подразумевать меняющуюся во времени функцию, а под - изменение этой функции, то в полученном дифференциальном уравнении добавится знак минус, поскольку а :

.

Интегрируем это уравнение:

.

Здесь M –начальная масса ракеты, начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты экспоненциально убывает с ростом скорости. Скорость по мере убывания массы ракеты логарифмически растет.

§6 Сила. Второй закон Ньютона.

Импульс тела меняется, если оно взаимодействует с другими телами. Это взаимодействие может быть контактным при ударе, о котором мы уже упоминали выше, а может осуществляться и на расстоянии.

Со скоростью изменения импульса тела, взаимодействующего с другим телом, можно связать новую величину, которую назовем силой, действующей на него:

. (6.1)

Силы, действующие на тело, могут быть различного вида, импульс тела будет меняться за счет каждой из них и в итоге, скорость изменения импульса тела будет определяться векторной суммой всех сил, действующих на тело. Итак, в выражении (6.1) под вектором подразумеваем результирующую силу, действующую на тело, равную векторной сумме всех сил , действующих на тело.

Если масса тела не меняется, то получим уравнение, известное как второй закон Ньютона:

. (6.2)

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих тел 1 и 2. Из закона сохранения импульса системы следует:

(6.3)

Полученный результат говорит нам, что в этой замкнутой системе наблюдается взаимодействие тел. Сила, действующая на 1 тело, равна по величине силе, действующей на 2 тело, и противоположна ей по направлению (3 закон Ньютона).

§7 Центр масс. Импульс тела.

Выше, при формулировании закона сохранения импульса для замкнутой системы, состоящей из нескольких тел, мы говорили о скоростях тел. Если тело – материальная точка, то его скорость определяется однозначно. Если тело имеет конечные размеры, то скорости различных частей тела могут быть различны. В этом случае мы можем разбить тело на малые части общим числом N, которые можем считать материальными точками. Импульс тела, как системы из N материальных точек, может быть определен в виде векторной суммы (5.1).

Определим для системы из N материальных точек, массы и положение в пространстве которых нам известны, особую точку, называемую центром масс системы, следующим образом:

. (7.1)

Используя понятие центра масс, можем импульс системы из N материальных точек определить двояким образом:

(7.2)

Первое определение импульса системы из N материальных точек, как векторной суммы импульсов всех тел мы уже давали, второе определение вытекает из уравнения (7.2): импульс системы равен произведению скорости центра масс на сумму масс всех тел системы.

Если теперь вернуться к определению импульса тела конечных размеров, то его можно определить, как произведение массы тела на скорость центра масс. Во всех наших выше приведенных рассуждениях о сохранении импульса при столкновениях тел, нужно под скоростью тела понимать скорость его центра масс. В этом случае анализ может быть обобщен на тела конечных размеров, а не ограничиваться рассмотрением столкновений материальных точек.

§8 Фундаментальные взаимодействия

При движении тел на них могут оказывать влияние другие тела. В классической механике величиной, характеризующей влияние одного тела на другое, как мы уже говорили, является сила. Среди всего многообразия сил можно выделить силы тяготения, реакции опоры, упругости, трения, сопротивления, кулоновские, молекулярные, силу Ампера, ядерные силы и другие. Все это многообразие взаимодействий может быть сведено к четырем фундаментальным: сильному, электромагнитному, слабому и гравитационному взаимодействию (таблица 2, введение).

Импульс тела меняется, если оно взаимодействует с другими телами. Это взаимодействие может быть контактным при ударе, о котором мы уже упоминали выше, а может осуществляться и на расстоянии (в действительности контактное взаимодействие при ударе также осуществляется на расстоянии, только оно достаточно мало по сравнению с размерами тел). Последний случай – наиболее интригующий. Как одно тело действует на другое, находясь на некотором расстоянии от него?

Первая философская концепция – концепция дальнодействия, объясняла действие на расстоянии проявлением высших сил. Ничего иного в 17 веке естествоиспытатели предложить не могли и для сохранения душевного равновесия ссылались на высшие силы. Более рациональное объяснение взаимодействия на расстоянии появилось в полевой концепции. Согласно ней, два тела 1 и 2 взаимодействуют следующим образом: тело 1 создает в той точке пространства, где находится тело 2, поле (электрическое, гравитационное), которое в данной точке и действует на 2 тело. Тело 2 так же создает в той точке пространства, где находится тело 1, поле, которое действует на тело 1.

Физические теории, основанные на полевой концепции, используются до сих пор, причем поле в них, отрываясь от тел их порождающих, становится самостоятельным объектом. Развитие данных физических теорий привело к представлениям о квантовании полей. С квантом каждого поля можно связать определенную частицу. Для электромагнитного поля - это фотон, для гравитационного поля – гравитон и т.д.

С полевой концепцией, в настоящее время, смыкаются другие представления о механизме взаимодействия тел, основанные на передаче импульса между взаимодействующими телами за счет испускания и поглощения частиц-переносчиц взаимодействий. Каждое тело, участвующее во взаимодействии, окружено связанными с ним частицами переносчицами этого взаимодействия. Например, каждая заряженная частица окружена “шубой” из виртуальных фотонов – частиц переносчиц электромагнитного взаимодействия. Виртуальный фотон – связанный фотон, никак не проявляющий себя до тех пор, пока не перейдет из “шубы” одной заряженной частицы в “шубу” другой заряженной частицы, перенося при этом некоторый импульс.

Данный механизм взаимодействия можно представить себе, наблюдая двух людей на гладком льду, к которым привязаны шарики на резиновых жгутах. Пусть один человек бросает два одинаковых шарика в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Импульс этого человека с шариками будет оставаться равным нулю и человек будет неподвижен (шарики на резиновых жгутах – виртуальные фотоны). Если один из шариков будет пролетать мимо другого человека, он может перерезать резиновый жгут и подхватить его (виртуальный фотон из шубы одной частицы перешел в шубу другой частицы). В зависимости от того, когда он режет жгут, он может получить импульс, направленный к человеку, либо от него. В первом случае мы будем наблюдать притяжение между людьми, во втором случае – отталкивание. Если другой шарик, зондировавший пространство в направлении перпендикулярном прямой соединяющей людей, возвращается и не находит человека, с которым он связан (он сдвинулся за счет взаимодействия со вторым человеком), то он может оторваться и стать свободным (виртуальный фотон превращается в обычный наблюдаемый фотон). То же самое мы видим, например, при кулоновском взаимодействии заряженных тел. В этом случае они взаимодействуют, движутся ускоренно, а ускоренно движущиеся заряды излучают электромагнитные волны в направлении перпендикулярном направлению ускорения тела. Если квантовать это излучение, получим фотоны.

Далее приведем основные представления о фундаментальных взаимодействиях.

Сильное взаимодействие испытывают кварки в адронах – составных частицах. Кварки имеют “цветные заряды” и комбинируются в них так, что адроны получаются “бесцветными”. Теория, описывающая сильное взаимодействие – квантовая хромодинамика (КХД).

Среди адронов можно выделить протоны и нейтроны, из которых состоят ядра атомов. На рис.8.1 схематично изображен протон, состоящий из трех цветных кварков . Сам протон оказывается бесцветным (смесь трех цветов – красного (red), зеленого (green), синего (blue), в оптике дает нам белый цвет).

Рис.8.1

В адронах кварки с цветными зарядами r, , g, , b, (знак тильда означает антицвет) связывают (склеивают) глюоны (glue – клей) – частицы, которые переносят сильное взаимодействие и сами обладают цветными зарядами. Существует восемь независимых цветных зарядовых состояний глюона. Из общего числа девяти цветных комбинаций для глюонов , , , , , , , , три первые не являются независимыми, поскольку их линейная комбинация ++оставляет цветное зарядовое состояние неизменным.

Поскольку глюоны имеют цветные заряды, между ними также есть сильное взаимодействие. Поэтому, несмотря на то, что масса глюонов равна нулю, сильное взаимодействие – короткодействующее. С увеличением расстояния между кварками в адроне взаимодействие не ослабевает, как это наблюдается, например, при гравитационном и электромагнитном взаимодействии. Поэтому для разделения кварков требуется бесконечно большая энергия. В свободном состоянии кварки не наблюдаются, они удерживаются в связанном состоянии в адронах. В литературе для описания этой проблемы часто используется новый термин, происходящий от английского confinement – ограничение, заключение.

В электромагнитном взаимодействии, величина которого составляет от сильного взаимодействия, участвуют все частицы, имеющие электрические заряды. Большинство из сил, которые перечислены в начале параграфа, обусловлены электромагнитным взаимодействием. Физическая теория, описывающая взаимодействия заряженных частиц за счет обмена фотонами – квантовая электродинамика (КЭД). Поскольку масса фотона равна нулю и сами между собой они не взаимодействуют, расстояние на котором наблюдается электромагнитное взаимодействие не ограничено.

В нерелятивистском приближении в рамках КЭД получаем закон Кулона. На каждую из двух неподвижных заряженных материальных точек действует сила:

(8.1)

где q ₁, q ₂ –заряды взаимодействующих тел, r – расстояние между ними, - модуль силы, действующей на каждый из зарядов.

Следующее по величине – слабое взаимодействие. Для него наиболее заметно, что постоянная, характеризующая величину взаимодействия, в действительности, существенно зависит от энергии взаимодействующих частиц. Можно сказать, что слабое взаимодействие в диапазоне энергий, с которыми имели дело экспериментаторы, составляет 10^-5 – 10^-10 от сильного взаимодействия. Переносчиком его являются массивные частицы, поэтому оно тоже короткодействующее, как и сильное взаимодействие. Казалось бы, что со слабым взаимодействием мы в повседневной жизни не сталкиваемся, разве что, наблюдая бета-распад радиоактивных ядер. Он же, в свою очередь, обусловлен превращением нейтрона в протон внутри радиоактивного ядра.

На рис.8.2 приведены схемы распада нейтрона и антинейтрона за счет слабого взаимодействия.

Рис.8.2

Характерной особенностью слабого взаимодействия является то, что оно различает “правое” и “левое”. Для фермионов с полуцелым спином возможны только две взаимные ориентации вектора импульса P и вектора момента импульса (точнее, проекции момента импульса на выделенное импульсом направление, более детально будем обсуждать это в квантовой физике): либо параллельная ориентация, либо антипараллельная. При зеркальном отражении одна ориентация переходит в другую (рис.8.3). Если бы для всех элементарных частиц была возможна и та и другая взаимная ориентации векторов P и S, то асимметрии между правым и левым в природе не наблюдалось бы. Однако это не так для нейтрино.

Рис.8.3

Наблюдаются только правые антинейтрино, и только левые нейтрино. Эта асимметрия является “затравочной сложностью”, некоторой нелинейностью в мире элементарных частиц, которая и приводит к образованию сложных несимметричных составных объектов. Именно за ее счет природа не оказалась в положении буриданова осла и сделала какой-то выбор на ранних стадиях развития Вселенной. Не делая пока более детального описания слабого взаимодействия, отметим, что различие числа правшей и левшей среди людей, асимметричное расположение сердца слева в груди человека, результаты первых экспериментов Луи Пастера по различной усвояемости живыми объектами право- и левовращающих органических молекул и множество других явлений связано с асимметрией слабого взаимодействия. Более того, можно сказать, что все многообразие окружающего нас мира связано с этой асимметрией.

Среди всех фундаментальных взаимодействий наибольшие проблемы возникают с описанием гравитационного взаимодействия. Его величина составляет ~10^-40 от величины сильного взаимодействия. Первая теория гравитации – общая теория относительности (ОТО) А.Эйнштейна позволяет интерпретировать некоторые экспериментальные факты, но в основе своей использует принцип эквивалентности инертной и гравитационной масс, сил инерции и гравитации. Согласно нему, сила гравитации в точке исчезает при переходе в неинерциальную, ускоренно движущуюся систему отсчета. Но таким образом мы можем любую силу в любой точке сопоставить с силой инерции в ускоренно движущейся системе отсчета. В ОТО гравитационное взаимодействие обусловливается изменением свойств пространства вблизи массивных тел.

В гравитационном взаимодействии участвуют все частицы и античастицы, обладающие массами, причем они только притягиваются, в отличие от электромагнитного взаимодействия, для которого характерно и притяжение и отталкивание. Во Вселенной количество положительных и отрицательных зарядов, по-видимому, равно, поэтому электромагнитное взаимодействие на больших расстояниях не проявляется (поскольку заряд планеты, звезды, галактики в среднем равен нулю). Это приводит к тому, что гравитационное взаимодействие, несмотря на его слабость, оказывается определяющим в динамике развития Вселенной в настоящее время.

Если обобщить результаты наблюдений тел, движущихся со скоростями много меньшими скорости света, то получим закон всемирного тяготения, который для двух материальных точек (или тел имеющих сферическую симметрию) формулируется следующим образом:

, (8.2)

где G = 6.67 10^-11 м³/(кг с² ) – гравитационная постоянная, r₁₂ – расстояние между телами, m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел. Гравитационную постоянную выбираем такой, чтобы гравитационная масса не отличалась от инертной.

Дата добавления: 2014-01-11