Выделение главной части функции

Выделение главной части функции - мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная громоздкая (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить громоздкие функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых.

Как следует из определений разделов 4.4.8-4.4.11, утверждения "при х ® а 1. f (x)~ g (x); 2. f (x)- g (x)=o(g (x)) =o(f (x)); 3. g (x) есть главная часть f (x)" эквивалентны. Так как для f (x) может существовать бесконечно много главных частей при х ® а (например, при х ®0 ~~~ ~~~ …..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление пределов при х ® а обычно это С₀(х - а)^k для бесконечно малых и для бесконечно больших, при х ®¥ - это для бесконечно малых и для бесконечно больших, где С₀ = const¹0, k =const>0 – порядок малости или роста функции f (x) относительно функции (х - а) (или относительно при х ®¥). Для главных частей такого вида бесконечно малых при х ® а функций равносильны следующие утверждения:

1. ;

2. , где a(х) – БМ при х ® а;

3. ;

4. , где ;

5. f (x) ~ .

Таким образом, в простейших случаях рецепт для выделения главной части вида С₀(х - а)^k БМ при х ® а функции f (x) состоит в следующем: f (x) надо представить в виде f (x)=, где . Тогда , и - главная часть функции f (x) при х ® а.

Аналогично изложенному выше, с заменой (х - а)^k на , формулируются утверждения и правило для выделения главной части функции, бесконечно малой при х ®¥.

Рассмотрим ряд примеров на выделение главной части и определение порядка малости функций (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):

1. . Представим f (x) в виде . Если , то , поэтому , k=1 – порядок малости f (x) при х ®0.

2. . Представим f (x) в виде . Если , то , поэтому , k=2 – порядок малости f (x) при х ®¥ по сравнению с .

3. . С помощью формул 4,6 таблицы 4.4.10 представим f (x) в виде . Здесь , , поэтому , k=1 – порядок малости f (x) при х ®0.

4. . Так как f (-2) = 0, то , и многочлен делится на х + 2 без остатка. Произведя деление, получим . Так как и f ₁(-2) = 0, то , поэтому , где . Результат: , - главная часть f (x), k=2 – порядок малости f (x) при х ®-2.

5. . ~, где . Поэтому , - главная часть , k=5/6 (относительно БМ ) при .

В следующих задачах решение излагается более кратко.

6.

7. .

8. .

9.

Неаккуратность при решении последнего примера даст результат

верный, но бесполезный.

10. Пусть х ®+0. Тогда

Если рассматривается случай х ® а ¹ 0, часто полезно сделать замену переменной у = х - а.

Пример:

11. Пусть х ®2. Найти главную часть БМ функции (убедитесь, что f (x) ®0 при х ®2). Перейдём к переменной у = х -2Þ х = у +2; у ®0 при х ®2. Меняем в функции х на у +2:

Так как у ®0, мы пришли к задаче, рассмотренной в примере 2. Ответ: , при х ®2.

12. Для функции, представляющей собой линейную комбинацию степенных выражений легко показать, что при х ®0 f (x) эквивалентна своему слагаемому с минимальной степенью: f (x)~: и все слагаемые, кроме последнего, стремятся к нулю при х ®0, так как при i =1,2,…, k -1.

При х ®¥ f (x) эквивалентна своему слагаемому с максимальной степенью f (x)~: и все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю при х ®¥, так как при i =2,…, k.

Дата добавления: 2014-01-11