Непосредственное вычисление пределов

1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f (x) - элементарная функция, определённая в точке а, то , например ;

2. , если f (х)®0 при х ® а;

3. , если f (х)®¥ при х ® а;

4. , если g (х)®0, f (х)® ¥ при х ® а, например и т.д.

Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:

5. Докажем, что . При х ®+¥ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями . А).При справедливо неравенство (оно справедливо при n =2, далее, по индукции: пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1< n + n = 2 n <2, т.е. оно верно и при n +1). Следствие: , т.е. последовательность ограничена. Б). Рассмотрим последовательность .

(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х - произвольное вещественное число, x >0. Тогда , где Е(х) - целая часть числа х. Обозначим Е(х)= n. . Устремим х ®+¥, тогда и n ®¥. Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части . По теореме 4.4.6 о пределе промежуточной функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а >1, поэтому будем считать доказанным, что при а >1.

6. при а >1 легко сводится к предыдущему. Пусть , тогда , у ®+¥ при х ®+¥, и .

7. Как следствие при а >1, b >1.

8. (неопределённость ) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у =1/ х. Тогда х =1/ у, у ®+¥ при х ®+0, ln x =ln(1/ y)=-ln y, поэтому .

Дата добавления: 2014-01-11