Сравнение поведения функций при х®а. Главная часть функции

Здесь мы определим символику, которая применяется в математической и технической литературе для сравнительного описания поведения функций вблизи предельной точки.

Определения. 4.4.8.1. f (x)~ g (x) (f (x) эквивалентна g (x)) при х ® а, если f (x)= s (x) g (x), где s (x)®1 при х ® а. Если g (x)¹0 в окрестности точки а, то f (x)~ g (x), если =1.

В остальных определениях мы не будем писать х ® а, но это везде подразумевается. Всё, что будет рассматриваться, верно и в случаях х ® а -0, х ® а +0 и т.д. В скобках будут даваться равносильные определения для случая, когда g (x)¹0 в окрестности точки а.

4.4.8.2. f (x)=О(g (x)) (О большое от g (x)), если f (x)= s (x) g (x), где s (x) ограничена в некоторой окрестности точки а. (f (x)=О(g (x)), если отношение f (x)/ g (x) ограничено в окрестности точки а.)

4.4.8.3. f (x)=о(g (x)) (О малое от g (x)), если f (x)= a(x) g (x), где a(x) - БМ функция. (.)

4.4.8.4. f (x)=О(1) - функция, ограниченная в некоторой проколотой окрестности точки а.

4.4.8.5. f (x)=о(1) - БМ функция (f (x) ®0 при х ® а.)

Перечислим ряд очевидных свойств введённых отношений (обязательно осмыслить!).

4.4.8.1. Если f (x)~ g (x), то g (x)~ f (x).

4.4.8.2. Если f (x)~ g (x), g (x)~ h (x), то f (x)~ h (x).

4.4.8.3. Если f (x)~ g (x), h (x)~ s (x), то f (x) h (x)~ g (x) s (x).

4.4.8.4. Если , то f (x)~ L.

4.4.8.5. Если f (x)=o(g (x)), то f (x)=O(g (x)).

4.4.8.6. Если f (x)~ g (x), то o(f (x))=o(g (x)).

4.4.8.7. O(O(f (x)))= O(f (x)); O(o(f (x)))= o(O(f (x)))= o(f (x)); o(o(f (x)))= o(f (x)).

4.4.8.8. g (x)(O(f (x)))= O(g (x) f (x)); g (x)(o(f (x)))= o(g (x) f (x)).

4.4.8.9. O(f (x)) O(f (x))= O(f ² (x)); O(f (x)) o(f (x))= o(f ² (x)); o(f (x)) o(f (x))= o(f ² (x)).

4.4.8.10. O(f (x))+O(f (x))= O(f (x)); O(f (x))+o(f (x))= O(f (x)); o(f (x))+o(f (x))= o(f (x)).

4.4.8.11. Из этих свойств и теоремы 4.4.10.2 о пределе разности функций следует:

f (x)~ g (x)Û f (x)- g (x)=о(f (x)); f (x)~ g (x)Û f (x)- g (x)=о(g (x)).

Условие f (x)~ g (x)Û f (x)- g (x)=о(g (x)) можно записать так: f (x)~ g (x)Û f (x)= g (x)+о(g (x)).

Опр. 4.4.8.6. Если функцию f (x) можно представить в виде f (x)= g (x)+о(g (x)), то функция g (x) называется главной частью функции f (x).

4.4.9. Сравнение бесконечно малых функций.

В предыдущем разделе введены определения, описывающие поведение при х ® а произвольных функций. Здесь мы уточним эти определения для случая бесконечно малых функций. Поведение БМ функций сравнивается, если существует конечный или бесконечный предел их отношения. Итак, пусть a(х)®0, b(х)®0 при х ® а и пусть $.

Опр. 4.4.9.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Опр. 4.4.9.2. Если =0, то БМ a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х) (b(х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с a(х)). Обозначение: a(х) = о(a(х)).

Опр. 4.4.9.3. Если =1, то БМ a(х) и b(х) называются эквивалентными. Обозначение: a(х)~b(х); если a(х)~b(х), то b(х)~a(х).

Эквивалентные БМ интенсивно используются и в теории, и при решении задач, поэтому докажем два утверждения об этих величинах.

Теор. 4.4.9.1. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. a(х)~b(х)Û=1Û0Û . Достаточность. ÛÛ =1.

Теор. 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные.

Пусть a(х)~ a₁(х), b(х)~b₁(х) - БМ функции. Тогда .

Док-во.

.

Опр. 4.4.9.4. Если при некотором k>0, то БМ a(х) называется БМ

k-го порядка малости по сравнению с b(х).

Если a(х) - БМ к-го порядка по сравнению с b(х), то a(х)~C[b(х)]^kÞa(х)=C[b(х)]^k+o(a(x)), т.е. функция C[b(х)]^k - главная часть функции a(х). В этом случае также a(х)=C[b(х)]^k+o([b(х)]^k).

При решении задач часто применяется следующее очевидное

Утверждение. Сумма конечного числа БМ функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

4.4.10. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Здесь мы с помощью рассмотренных в 4.4.7 пределов составим таблицу эквивалентных БМ функций и выпишем следующие из них выражения для главных частей (они подчёркнуты).

Эквивалентность при х ®0	Главная часть при х ®0
1. sin x ~ x	1. sin x = x +o(x)
2. 1 - cos x ~ x ^2/2	2. 1 - cos x = x ^2/2 +o(x ^2)Þcos x = 1- x ^2/2+o(x ^2)
3. tg x ~ x	3. tg x = x +o(x)
4. arcsin x ~ x	4. arcsin x = x +o(x)
5. arctg x ~ x	5. arctg x = x +o(x)
6. a^x -1 ~ x ln a; e^x -1 ~ x	6. a^x –1 = x ln a +o(x)Þ a^x = 1+ x ln a +o(x) e^x –1 = x +o(x))Þ e^x = 1+ x +o(x)
7. log a (1+ x) ~ x log a e; ln(1+ x) ~ x	7. log a (1+ x) = x log a e +o(x); ln(1+ x) = x +o(x)
8. (1+ x) ^a -1 ~ ax	8. (1+ x) ^a - 1 = a x +o(x)Þ (1+ x) ^a =1 + a x +o(x)
9. sh x ~ x	9. sh x = x +o(x)
10. ch x - 1 ~ x ^2/2	10. ch x - 1= x ^2/2 +o(x ^2)Þ ch x = 1 + x ^2/2+o(x ^2)

4.4.11. Бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно больших функций и связь с бесконечно малыми функциями.

В разделе 4.4.3 мы определили функции ББ, положительные ББ, отрицательные ББ и ввели обозначения: , , . Напомним одно из них.

Опр.4.4.8. f (x)®¥ при х ® а (х ® а +0, х ® а -0, х ®¥, х ®+¥, х ®-¥) Û Û.

Теор. 4.4.11.1 о связи ББ и БМ функций. Пусть функции F (x) и j(x) связаны соотношением F (x)=. F (x) - ББ тогда и только тогда, когда j(x) -БМ.

Док-во. Необходимость. Пусть F (x) - ББ, докажем, что - БМ. Возьмём "e>0. По определению ББ, для М =1/e $d: 0<| x - a |<dÞ| F (x) |> М. Тогда , т.е. j(x) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность доказывается аналогично необходимости.

Итак, связь между ББ и БМ функциями достаточно простая. Поэтому кратко перечислим факты, относящиеся к сравнению ББ функций и аналогичные определениям и теоремам для БМ.

Опр. 4.4.11.1. Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F (х) и G (х) называются бесконечно большими одного порядка роста при х ® а.

Опр. 4.4.11.2. Если =0, то ББ G (х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F (х) (F (х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G (х)). Обозначение: F (x) = o(G (x)).

Опр. 4.4.11.3. Если =1, то ББ G (х) и F (х) называются эквивалентными.

Теор. 4.4.11.2. (Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F (х) и G (х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F (х) - G (х) = о(F (х)) (или F (х) - G (х) = о(G (х)).

4.5. Решение задач на вычисление пределов.

Дата добавления: 2014-01-11