Общие положения. Определения. Понятия

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЛЕКЦИЯ 3

Численные методы

ЛЕКЦИЯ 3

Тема. Решение систем линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

(4.1)

Систему (4.1) можно записать в векторно-матричной форме:

, (4.2)

где:

= ; = ; =

(– квадратная матрица, содержащая строк и столбцов, и – заданный и искомый -компонентные векторы).

Решением системы линейных уравнений называется такая совокупность чисел (значений неизвестных), которые при подстановке в каждое уравнение системы вместо соответствующих неизвестных обращают его в тождество.

Система, для которой существует хоть одно решение, называется совместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, совместная же система, имеющая сколько угодно решений, называется неопределенной, а система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Единичной называется матрица E, у которой диагональные элементы равны единице, недиагональные – нулю.

Обратной по отношению к данной называется матрица , которая будучи умноженной как справа, так и слева на указанную матрицу, дает единичную матрицу, т.е.

А = А = Е. (4.3)

Если к матрице А добавить столбец свободных членов, получим присоединенную матрицу В:

B = .

Транспонированная матрица получается перестановкой в матрице А строк со столбцами.

Матрица Т трехдиагональная, если у нее все элементы, не лежащие на трех центральных сопряженных диагоналях, равны нулю.

= ; (4.4)

Z = . (4.5)

Если квадратная матрица А равна транспонированной (А = ), т.е. , то матрица А называется с имметричной.

Треугольной называется матрица, у которой все лежащие ниже (или выше) диагональной элементы равны нулю.

Матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов равна нулю, т.е. А = Е

Предположим, что система (2.1) не вырождена, т.е. ее определитель отличен от нуля: (другими словами, матрица А – неособенная). В этом случае она имеет единственное решение, которое можно получить, применяя различные методы.

Многообразие численных методов решения систем линейных уравнений можно разделить на прямые (точные) и итерационные (приближенные).

Прямыми называются методы, которые позволяют за конечное число арифметический операций получить точное решение системы (например, метод Крамера, метод Гаусса и его модификации и другие. Итерационные методы дают приближенное решение системы с заданной точностью. Точное решение теоретически может быть получено как результат бесконечного единообразного процесса. К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, градиентные методы и их модификации.

Дата добавления: 2014-01-11