![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точке имеет вид:
Функция (4) где: А - постоянное число
Теорема Для того чтобы функция f(x), была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x0, тогда имеет место равенство (4). Считая переходим к пределу при
Обратно
Пусть в точке х0 функция имеет конечную производную
Умножая обе части на
Таким образом, дифференцируемость функции в точке и существование в этой точке её конечной производной - понятия равносильные (для функции многих переменных это будет не так). Непрерывность дифференцируемой функции Предположим, что функция f(x) производную f’(x0). Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х0 Док-во: q.e.d. Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно.
Достаточно рассмотреть Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к. Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.
Основные правила дифференцирования 1. Производная константы равна 0: Утверждение тривиально, т.к. в любой точке х приращение 2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. х, тогда функции (в случае частного, считаем Док-во:
устанавливаются пределы
Вертикальные асимптот ы. Предположим, что в точке x=a по крайней мере один из односторонних пределов функции f(x) бесконечен:
тогда точка M(x,f(x)) графика функции y=f(x) удаляется по этому графику в бесконечность, а её расстояние от прямой x=a стремится к нулю. Следовательно, согласно определению асимптоты, прямая x=a является асимптотой (вертикальной) кривой y=f(x). Очевидно, что обратно, если прямая x=a является асимптотой кривой y=f(x), то хотя бы одно из условий (А) выполняется.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Производная. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и точки x0 и x0 +Dx лежат на этом промежутке Определение 1: Производной функции в точке x0 называют предел (если он существует и конечен):
то говорят, что функция y=f(x)имеет в точке x0 бесконечную производную. В отличии от бесконечной производной введённая выше производная называется конечной. Определение 2: Говорят, что функция y=f(x)имеет в точке x0 правую (resp. левую) производную, если существует предел:
Каждая из односторонних производных может быть бесконечностью(определённого знака)
![]()
……………………………………………………………………………………………
Это равенство справедливо при всех достаточно малых, поэтому выберем такое Таким образом предел справа
Примечание. Теорема доказана для сложной функции имеющей лишь один промежуточный аргумент. Однако последних может быть много, но правило диференц. Будет прежним. Пример: Пусть: y=f(u), u=u(v), v=v(t), тогда y(t)=f’(u)·u’(v)·v’(t).
Правила дифференцирования обратной функции.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2279; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |