Простые волны

Как мы выяснили ранее, простые римановские волны описываются особыми решениями основной системы дифференциальных уравнений в виде (3.34), (3.35) для совершенного газа:

(3.43)

где знаки выбираются следующим образом. Если волна распространяется вправо, в положительном направлении оси ox, то выбираются верхние знаки; если влево, в отрицательном направлении оси ox, то выбираются нижние знаки.

Рассмотрим характеристики простых волн.

Как было установлено, выражение (с плюсом или минусом):

(3.44)

является характеристикой решений основной системы в плоскости u, c и представляет собой прямую линию. Так как мы рассматриваем одно уравнение (при решении конкретной задачи), то характеристика для данного особого решения - одна прямая линия, вдоль которой переносится постоянное значение выражения, например, (рис.3.5)

Характеристики простой волны (3.43) в общем случае в плоскости x, t имеют вид (для системы с верхними знаками) (3.45)

Рис. 3.5. Характеристика особого решения

Возьмем на характеристике в плоскости u, c какую-нибудь точку 3. Эта точка будет определять состояние среды с фиксированными u₁ и c_3. Для данного фиксированного состояния имеем уравнение характеристики в плоскости x, t:

(3.46)

Продифференцируем это выражение и получим скорость распространения данного фиксированного состояния среды

Итак, для каждого данного фиксированного состояния среды i в плоскости x, t имеем определенную прямую линию. Для другого фиксированного состояния будем иметь в плоскости x, t другую прямую линию (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Семейство характеристик

Таким образом, каждой точке характеристики в плоскости u, c соответствует определенная характеристика в плоскости x, t. Далее рассмотрим несколько задач газовой динамики, которые описываются теорией простых римановских волн.

Дата добавления: 2014-01-11