ТЕМА: Координати і вектори та геометричні перетворення у шкільному курсі математики

1. Методика вивчення координат:

а) специфіка введення координат в площині і в просторі;

б) рівняння фігур;

в) використання методу координат в розв’язання задач.

2. Вектори в ШКМ:

а) поняття вектора, операції над векторами;

б) векторний метод при розв’язанні задач і доведенні теорем.

3. Геометричні перетворення:

а) рухи;

б) перетворення подібності;

в) використання геометричних перетворень при розв’язанні задач і доведенні теорем.

1. а)

З декартовою системою координат учні вперше знайомляться в 6 класі, але це відбувається на досить примітивному рівні.

У 9 класі ці відомості треба повторити і суттєво розширити. В 9 класі розглядаються задачі на визначення відстані між двома точками і на знаходження координат середини відрізка. Ці ж задачі в подальшому розглядаються і у просторі. На даному етапі мають бути розглянуті найпростіші геометричні задачі, що розв’язуються з допомогою даних формул. На цьому етапі задачі сформульовані на координатній мові.

б)

Поняття рівняння фігури є досить складним для більшості учнів. Вже на першому етапі при формулюванні означення виникає певного роду проблеми з розумінням того, що дане означення містить обов’язково дві умови. В школі розглядаються два рівняння фігур:

рівняння кола;

рівняння прямої.

Рівняння кола ввести суттєво простіше ніж рівняння прямої. При цьому використовуються прийом: обирається довільна точка з координатами і встановлюються відносини між цими координатами. Після чого обов’язковим є доведення, того що отримане рівняння є саме рівняння тієї фігури.

Суттєво складнішим є процес виведення рівняння прямої

(*), – деякі числа.

Нехай – довільна пряма на площині . Проведемо пряму, перпендикулярну до і відкладемо на ній від точки з прямою рівні відрізки і .

Нехай - координати точки і -

координати точки . Як відомо, будь-яка

точка прямої рівновіддалені від

точки і .

(**)

, , .

Дістанемо рівняння (*)

Крім загального рівняння прямої в підручнику розглядається поняття кутового коефіцієнту, на основі якого досліджується випадок паралельних прямих за умови рівності кутових коефіцієнтів цих прямих.

y

В підручнику є спеціальний пункт, який пов’язує отримане рівняння з графіком лінійної функції. Розглядаються окремі розташування прямих в залежності від значень параметрів.

У 11 класі розглядаються питання щодо координат у просторі, де кожній точці у вибраній прямокутній системі координат відповідає впорядкована трійка чисел. Вводяться формули аналогічні тим, які розглядались у площині (довжина відрізка, координати середини відрізка), задаються рівняння сфери, площини та прямої.

в)

Використання методу координат для розв’язання геометричних задач – це прийом алгебраїзації геометрії.

Основні етапи роботи:

· доцільний вибір системи координат. Часто від вибору системи координат залежить складність розв’язання задач;

· знаходження координат основних точок у вибраній системі координат;

· розв’язання задачі в координатній формі, встановлення відношень, використання відповідних формул;

· переклад отриманих результатів на мову геометрії.

Рівень задач, що розглядаються, залежить від математичного розвитку учнів може варіювати від найпростіших знайомих учням задач до досить цікавих задач на встановлення нових відношень.

Розв’язування задач координатним методом починається з побудови прямокутної системи координат, у якій потрібно знайти координати точок і векторів і на цій основі складати рівняння прямих (у двовимірному просторі) і площин, визначати відстані між точками, від точки до прямої і площини, кути між прямими і площинами та ін.

Результат розв’язування задачі не залежить від вибору системи координат. Проте від вдалого її вибору залежить раціональний шлях її розв’язання, швидкість і легкість одержання необхідного результату. Тому, перш ніж вводити систему координат, необхідно проаналізувати задачу, встановити, координати яких точок треба визначити, рівняння яких прямих і площин скласти і подумати, в якій з обраних систем координат це можна зробити з найменшою затратою фізичних і розумових сил. Загальних правил тут немає: кожна задача вимагає індивідуального підходу.

Теорема: Довести, що діагоналі прямокутника рівні
Правило-орієнтир методу координат	Використання методу
1. Обираємо систему координат, відносно якої переводимо вимогу задачі на координатну мову	1. y B(0; b) C(a; b) 0(A) D(a; 0)	Дано: ABCD – прямокутник, АС, DB – діагоналі Довести: АС = DB
2. Перетворення аналітичного виразу	2. АС = = BD = =
3. Інтерпретація кінцевого результату в потрібній термінології	3. АС = DB

На наступному етапі слід запропонувати учням наступні евристики.

Мова геометрії	Мова координат
	Точки А і В лежать: а) на площині; б) в просторі;   Дано пряму АВ   Прямі АВ і CD паралельні     Прямі АВ і CD перпендикулярні     Точка О ділить відрізок навпіл     Точка С ділить відрізок АВ у відношенні   Довжина відрізка АВ дорівнює m   Відстань від точки М до прямої АВ дорівнює d     Дано площину α   Відстань від точки М до площини α дорівнює m		а) А(х1; у1), В(х2; у2); б) А(х1; у1; z1), В(х2; у2; z2);   а) y = kx + b; б) CD: ,   AB: y = k1x + b1; CD: y = k2x + b2, k1 = k2, b1 ≠ b2   AB: y = k1x + b1; CD: y = k2x + b2, k1k2 = -1,   А(х1; у1), В(х2; у2), О(х0; у0); ; А(х1; у1), В(х2; у2), О(х0; у0); ; , де А(х1; у1), В(х2; у2) M(x0; y0), AB: ax + by + c = 0;   α: ax + by + cz + d = 0   M(x0; y0; z0); α: ax + by + cz + d = 0

Наведемо приклади задач, які доцільно розв’язувати з використанням методу координат:

Задача 1. Довести що коли діагоналі паралелограма рівні то цей паралелограм – прямокутник.

Задача 2. На прямій дано три точки так, що точка лежить між . З одного боку від прямої побудовано рівносторонні трикутники . Довести, що середини відрізків та точка – вершини рівностороннього трикутника.

Задача 3. Через довільну точку меншого з двох концентричних кіл, радіуси яких , проведено довільну пряму, яка не проходить через центр кіл і перетинає більше з них у точках . Перпендикуляр до , проведений через точку , перетинає менше коло в точці . Знайти суму .

Задача 4. Навколо рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює , описане коло. Довести, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершини цього трикутника дорівнює .

Задача 5. У коло з центром вписано чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, які перетинаються в точці . Довести, що середини сторін , центр і точка є вершинами паралелограма.

Задача 6. Дано рівносторонній трикутник . Через вершини проведено коло, центр якого симетричний вершині відносно прямої . – довільна точка цього кола, яка не збігається з . Довести, що трикутник, сторонами якого є відрізки , – прямокутний.

Задача 7. Знайти площу трикутника , якщо , а медіани взаємно перпендикулярні.

Задача 8. Довести, що коли координати всіх вершин будь-якого опуклого многокутника є цілі числа, то його площа виражається раціональним числом.

Задача 9. Довести, що на координатній площині неможливо розмістити рівносторонній трикутник так, щоб його вершини містилися у точках з цілочисловими координатами.

Задача 10. Через центр правильного трикутника, сторона якого дорівнює 1 см, проведено в його площині довільну пряму. Знайти суму квадратів відстаней від трьох вершин трикутника до цієї прямої.

Задача 11. У трикутнику . Знайти величину кута між медіанами , якщо .

Задача 13. Дано рівносторонній трикутник . Знайти множину точок , для яких .

Задача 14. На площині дано дві точки . Знайти множину точок площини таких, що в трикутнику медіана рівна стороні .

2. а)

Поняття вектора є досить важливим поняттям, яке широко використовується у дослідженні реальних процесів.

Дане поняття суттєво відрізняються від усіх розглянутих раніше. Довгий час в методичній літературі точились суперечки відносно того, як саме в шкільному курсі геометрії вводити поняття вектора.

Підхід запропонований в підручнику є найбільш прийнятним і доступним для учнів із усіх пропонованих в літературі.

Вектор розглядається з двох точок зору, як геометричний об’єкт (напрямлений відрізок) і алгебраїчний (як впорядкована пара чисел у площині і впорядкована трійка чисел у просторі). Матеріал традиційно є непростим для сприймання, тому доцільно весь матеріал вже на перших уроках викласти систематизовано у вигляді опорного конспекту.

Вектор, як алгебраїчне поняття	Вектор, як геометричний образ
1. Означення. Вектором називається впорядкована пара чисел, де . Позначається вектор наступним чином .	1.Означення. Вектором називається напрямлений відрізок, початком якого є точка А, кінцем – точка В. Окрім позначення векторів , існує й інше позначення , . На рисунках вектор зображають у вигляді відрізка із стрілкою, яка вказує його напрямок. В   А Якщо вектор розглядати в межах координатної площини ХОУ, то він повинен мати відповідні координати. Теорема 1: Якщо точки A(a1; a2) і B(b1; b2) є відповідно початком і кінцем вектора , то числа b1 –a1 и b2 –a2 дорівнюють відповідно першій і другій координатам вектора .
2.Властивості: 1) Нульовим вектором називається вектор вигляду .	2.Властивості: 1) Вектор називається нульовим, якщо у нього початок і кінець співпадають. Позначають такий вектор . На рисунках нульовий вектор зображають як точку.
2) Ненульові вектори і називаються колінеарними, якщо виконується наступна умова: .     3) Модулем вектора називається величина , яка отримується за наступною формулою:   4) Два вектора і називаються рівними, якщо виконуються наступні умови: 1. а1=b1; 2. а2=b2. 3. Операції над векторами: 1) Сумою двох векторів і називається вектортакий, що: 1. с1= а1+b1; 2. с2= а2+b2. Теорема 3: Якщо координати векторів і відповідно дорівнюють і , то координати вектора дорівнюють .	2) Ненульові вектори і називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Якщо вектори і мають однаковий напрямок, то вони називаються однаково напрямленими векторами. Цей факт позначається так: .   Аналогічно, вектори і називаються протилежно напрямленими, якщо мають протилежні напрямки. Цей факт позначається так: . Нульовий вектор вважають колінеарним довільному вектору. Теорема 2: Якщо вектори і колінеарні і вектор - не нульовий, то існує таке число n, що . 3) Модулем (довжиною) вектора називається довжина відрізка АВ. Довжину вектора позначають, довжину вектора позначають .     4) Два вектора називаються рівними, якщо вони мають однакові довжини і є однаково напрямленими.   3. Операції над векторами: 1) Сумою двох векторів і називається вектор , який утворено за правилом трикутника, або паралелограма.
Властивості додавання векторів аналогічні до властивостей додавання чисел: 1. ; 2. ; 3. . 2) Різницею двох векторів і називається вектортакий, що: 1. с1= а1-b1; 2. с2= а2-b2. Теорема 4: Якщо координати векторів і відповідно дорівнюють і , то координати вектора дорівнюють .     3) Добутком вектора на число n є вектортакий, що: 1. с1= nа1; 2. с2= nа2. Теорема 5: Якщо вектор має координати , то вектор має координати . Наслідок 1: Вектори і колінеарні. Наслідок 2: Якщо вектори і колінеарні, при чому , то існує таке число n, що b1= nа1,b2= nа2.   4) Властивості множення вектора на число: 1); 2); 3).   4) Розклад вектора за двома не колінеарними векторами Теорема 6*: Якщо вектори і є ненульовими і не колінеарними, то довільний вектор можна представити у вигляді , при чому координати вектора знаходяться за наступними формулами: 1) с1=lа1+l b1; 2) с2=lа2+l b2.   5) Теорема 8: Скалярним добутком векторів і є число с, яке знаходиться за наступною формулою:   Кут між векторами і визначається рівністю:     Властивості скалярного добутку векторів: 1) ; 2) ; 3).	Правило трикутника Для того, щоб додати два не колінеарні вектори і треба: І. Від довільної точки А відкласти вектор , що дорівнює вектору . ІІ.Від точки В відкласти вектор, що дорівнює вектору. ІІІ.Вектор є сумою векторів і . B   A C   Правило трикутника можна застосовувати і для колінеарних векторів: A C B   Правило паралелограма Якщо треба знайти суму не колінеарних векторів і то: І.Від довільної точки А відкласти вектор , що дорівнює вектору . ІІ.Від цієї ж точки А відкласти вектор , що дорівнює вектору . ІІІ.Будуємо паралелограм АВСD на векторах і . IV.Сума векторів і дорівнює вектору . В C   А D Властивості додавання векторів: І. ІІ. ІІІ.     2) Різницею двох векторів і називається такий вектор , сума якого з вектором дорівнює вектору . Правило знаходження вектора різниці двох векторів Якщо треба знайти різницю векторів і то: І.Від довільної точки А відкласти вектор , що дорівнює вектору . ІІ.Від цієї ж точки А відкласти вектор , що дорівнює вектору . ІІІ.Різницею векторів і буде вектор . В А С Зверни увагу: вектор різниці напрямлений у бік зменшуваного.   3) Добутком ненульового вектора на число n (n не дорівнює нулю), називається такий вектор , що задовольняє наступним умовам: 1) ; 2) якщо n>0, то якщо n<0, то . Якщо або n=0, то .     Правило побудови вектора добутку ненульового вектора на число n: І. Якщо число 0<n<1, то: 1) Будуємо вектор , який є рівним вектору . 2) Відмічаємо від точки А n-ту частину вектора і ставимо точку С. 3) Отримуємо . ІІ. Якщо число n>1, то: 1) Будуємо вектор , який є колінеарним вектору і довжина якого є значно більшою за довжину вектора . 2) Від точки А відкладаємо n довжин вектора і ставимо точку С. 3) Отримуємо . ІІІ. Якщо число -1 <n<0, то: 1) Будуємо вектор , який є колінеарним вектору , має однакову довжину з вектором і протилежний до нього напрямок. 2) Відмічаємо від точки А n-ту частину вектора і ставимо точку С. 3) Отримуємо . ІV. Якщо число n < -1, то: 1) Будуємо вектор , який є колінеарним вектору , але має протилежний до нього напрямок і довжина якого є значно більшою за довжину вектора . 2) Від точки А відкладаємо n довжин вектора і ставимо точку С. 3) Отримуємо . 4) Властивості множення вектора на число: 1); 2); 3) . Теорема 6:Якщо точка С ділить відрізок АВ у відношенні m:n, а О – довільна точка площини, то справджується рівність . Навпаки, якщо справджується ця рівність, то точка С ділить відрізок АВ у відношенні m:n. 4) Розклад вектора за двома не колінеарними векторами Теорема 7:Якщо вектори і є ненульовими і не колінеарними, то довільний вектор можна представити у вигляді .   5) Скалярний добуток векторів Скалярним добутком двох ненульових векторів називається добуток їх довжин на косинус кута між ними. Скалярний добуток позначається . Теорема 9: Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Для того, щоб знайти кут між векторами і , необхідно: відкласти від однієї точки О вектори і ; знайти величину кута між відрізками ОА і ОВ. Кут між векторами і позначають . Якщо вектори однаково напрямлені, то кут між ними дорівнює 0^о, а якщо протилежно напрямлені – 180^о. Властивості скалярного добутку векторів: 1) ; 2) ; 3).

б)

На значній кількості нескладних задач всі введені поняття, операції, твердження мають бути опрацьовані. При роботі у просторі треба актуалізувати знання з 9 класу. Після чого робота з просторовими векторами проводиться аналогічно і мало в чому відрізняється від роботи у площині.

Векторний метод є досить продуктивним при розв’язанні складних для геометрії задач. Тому бажано хоча б невелику кількість задач розв’язати даним методом.

Основними етапами розв’язання задачі є такі:

· ввести необхідну кількість векторів;

· за допомогою використання відомих векторних рівностей отримати співвідношення, які на векторній мові визначають вимогу задачі;

· перекласти отриманий результат на геометричну мову.

Співвідношення між геометричними відношеннями і векторною формою:

На наступному етапі слід запропонувати учням наступні евристики.

Що потрібно довести (на мові геометрії)	Що достатньо довести (на мові векторів)
1) a||b	= k, де відрізки АВ і CD належать відповідно прямим а і b, k – число. В залежності від вибору АВ і CD виникають різні векторні співвідношення, серед яких вибираються ___
2) Точки А, В і С належать прямій а	а) встановити справедливість однієї з наступних рівностей: = kабо = k; б) довести рівність = р+ q, де p + q = 1 і Q – довільна точка; в) довести рівність α+ β+ γ= 0, де α + β + γ = 0 і Q – довільна точка
3) Точка С належить відрізку АВ, де АС:АВ = m:n (ділення відрізка в даному відношенні)	= або = + для деякої точки Q.
4) ab	·= 0, де точки А і В належать прямій а, а точки С і D – прямій b.
5) Обчислити довжину відрізка	а) вибрати два неколінеарних базисних вектори (або три некомпланарних), у яких відомі довжини і кут між ними; б) розкласти за ними вектор, довжина якого обчислюється; в) знайти скалярний квадрат цього вектора, використовуючи формулу ^2 = ||^2
6) Обчислити величину кута	а) вибрати два неколінеарних базисних вектори, для яких відомі відношення довжин і кут між ними; б) вибрати вектори, що задають шуканий кут, і розкласти їх по базисним векторам; в) обчислити cos(, ) =

[3]

З більш сильними учнями можна розглянути наступну таблицю основних співвідношень обома мовами.

№ п/п	Мовою геометрії	Мовою векторів
	А збігається з А1 АВ|| CD С належить прямій АВ С – точка відрізка АВ і АС: СВ = m: n     D – точка площини АВС Відрізки АВ і CD рівні АВCD AOB = φ     М – середина відрізка АВ   М – центроїд ∆АВС   М – центроїд тетраедра ABCD   C – точка відрізка АВ і АС: СВ = m: n   С – точка прямої АВ D – точка площини АВС   ОАВС – паралелограм	= , або = = k = k = , АС = = = а + b ^2 = ^2 ·= 0 cos φ = = (+ ) = (+ + ) =(+++) = +   = k · + (1 – k) = α · + β · + + (1 – α - β) а) = + ; б) = або = , А, В і С не лежать на одній прямій;

3.а)

Питання, пов’язані з перетвореннями геометричних фігур за чинною програмою розглядаються у передостанній темі 9-го класу.

На першому етапі, після опису процесу перетворення фігури, вводиться поняття руху (переміщення) як перетворення фігури, яке зберігає відстані між точками.

Без обґрунтування наводяться властивості руху:

· образом прямої є пряма;

· образом відрізка є відрізок, рівний даному;

· образом кута є кут, рівний даному;

· образом трикутника є трикутник, рівний даному;

· образом многокутника є многокутник, рівний даному.

Розгляд цих властивосте дозволяє ввести нове означення рівних фігур як таких, для яких існує рух, при якому одна з даних фігур є образом іншої.

Окремими видами рухів, що розглядаються у шкільному курсі геометрії є паралельне перенесення, осьова та центральна симетрії і поворот. Робота з різними рухами відбувається за наступною схемою:

· визначення правила отримання образа точки при відповідному перетворенні;

· обґрунтування того, що задане перетворення є рухом;

· розв’язування задач.

На другому етапі роботи з перетвореннями вводиться перетворення гомотетії, доводиться теорема про те, що при гомотетії фігури F з коефіцієнтом k усі відстані між її точками змінюються в разів. Наслідком даного твердження є подібність гомотетичних трикутників.

Основними властивостями гомотетії є такі:

· образом прямої є пряма;

· образом відрізка є відрізок;

· образом кута є кут, рівний даному;

· образом трикутника є трикутник, подібний даному;

· образом кола є коло;

· площа многокутника змінюється у разів, де k – коефіцієнт гомотетії.

Перетворення подібності трактується як композиція гомотетії та руху.

Вводиться нове означення подібних фігур як таких, одну з яких можна отримати з іншої в результаті композиції гомотетії та руху.

в) Щоб розв’язати задачу методом геометричних перетворень, розглядаються разом із заданими фігурами нові фігури, які дістали з даних за допомогою певного перетворення. З’ясовуємо властивості нових фігур, переносимо ці властивості на дані фігури і так знаходимо шлях розв’язування задачі. У деяких задачах перетворення застосовуємо не до всієї фігури, а лише до деякої її частини. Залежно від того, яке перетворення застосовуємо, розрізнятимемо різновидності методу геометричних перетворень: методи геометричних переміщень: метод симетрії, метод повороту і метод паралельного перенесення та метод подібності.

Метод симетрії. Дану в умові задачі фігуру (або її елементи) замінюємо фігурою, симетричною даній відносно деякої точки або прямої.

Метод симетрії досить часто застосовують у процесі розв’язування завдань на знаходження мінімальних значень певних величин.

Метод повороту. Цей метод корисно застосовувати тоді, коли в умові задачі дано трикутник з відомим кутом між рівними сторонами (рівносторонній, рівнобедрений прямокутний трикутник худе) або дано фігуру, в якій можна виділити зазначений трикутник.

Метод паралельного перенесення. Під час розв’язування деяких задач часто виникають труднощі тільки через те, що елементи даної фігури віддалені один від одного, і тому важко ввести в малюнок дані умови. Зближення елементів фігур зручно здійснювати паралельним перенесенням.

Метод подібності. Розглядається не задана в умові задачі фігура, а їй подібна. Найчастіше цей метод використовується у задачах на побудову. Умова задачі дає змогу побудувати фігуру подібну шуканій або дає можливість «помножити» певним способом побудовану фігуру і, якщо потрібно, помістити її у потрібне положення.

Перетворення спрощують розв’язання багатьох геометричних завдань. Основна ідея цього методу, що фігура, що розглядається в умові задачі, перетворюється в таку, для якої розв’язання стає простішим. Розв’язавши задачу для перетвореної фігури, потім оберненим перетворенням повертаються до початкової фігури.

Разом з тим застосування кожного перетворення має свої особливості. Метод паралельного перенесення дозволяє зблизити віддалені один від одного частини фігури і цим спростити задачу.

За базову задачу, що розв’язується методом паралельного перенесення, можна вибрати таку:

Задача 1. Побудувати відрізок, рівний і паралельний даному з кінцями на двох даних кривих.

γ₂     Y X   γ'₁ γ₁   A B

У процесі колективного розв’язування поставленої задачі (на етапі аналізу), яку можна організувати у формі евристичної бесіди, учні доходять висновку про доцільність виконання паралельного перенесення бічної сторони трапеції в напрямку її основ на задану відстань (довжину однієї з основ). У результаті цього одержуємо трикутник, який можна побудувати за трьома сторонами. Обернене паралельне перенесення допомагає визначити всі вершини шуканої трапеції.

Результатом виконаної колективної навчальної діяльності має стати побудова навчальної моделі розв’язування задач конструктивної геометрії методом паралельного перенесення. Вона може мати такий вигляд.

1. Аналіз задачі, у процесі якого обґрунтовується доцільність побудови відрізка рівного та паралельного даному з кінцями (кінцем) на заданих кривих (кривій).

2. Виконання паралельного перенесення кривої (фігури) в заданому напрямку на задану відстань.

3. Знаходження точки (точок) перетину іншої заданої кривої (фігури) з кривою-образом.

4. Виділення допоміжної фігури (зазвичай трикутника), яку можна побудувати за даними задачі.

5. Побудова допоміжної фігури за допомогою циркуля й лінійки, що, як правило, належить до однієї з основних побудов.

6. Виконання оберненого паралельного перенесення (побудованої точки чи допоміжної фігури).

7. Контроль за виконанням попередніх навчальних дій.

8. Перевірка того, що взята фігура є шуканою (задовольняє вимогам задачі).

9. Оцінка засвоєння методу паралельного перенесення розв’язування завдань на побудову.

До системи пропонованих учням задач можуть увійти такі:

1. Побудувати трапецію за основами та діагоналями.

2. Побудувати трикутник за його медіанами.

3. Побудувати трапецію за різницею основ, двома бічними сторонами та однією діагоналлю.

4. Побудувати чотирикутник, знаючи його діагоналі, дві протилежні сторони і кут між цими сторонами.

5. Побудувати чотирикутник за сторонами та кутом між парою протилежних сторін.

6. Побудувати чотирикутник, знаючи три його сторони і кути, що прилягають до четвертої сторони.

7. Побудувати чотирикутник, знаючи його діагоналі, дві протилежні сторони і кут між цими сторонами.

8. Побудувати відрізок, рівний і паралельний даному з кінцями на двох даних колах (двох даних прямих; з одним кінцем на даному колі, а іншим – на даній прямій).

9. У якому місці потрібно побудувати міст MN через річку, яка розділяє населені пункти А і В, щоб шлях AMNB був найкоротшим (береги річки вважаються паралельними, а міст будується перпендикулярно до берегів).

Наведемо приклади базових завдань, які розв’язуються методами геометричних перетворень.

Задача 3. Побудувати відрізок із серединою в даній точці і кінцями на двох даних кривих (центральна симетрія).

Задача 4. Побудувати відрізок з кінцями на двох даних кривих, серединою на даній прямій, так щоб пряма, яка містить цей відрізок, була перпендикулярною до цієї прямої (осьова симетрія).

Задача 5. Побудувати рівнобедрений трикутник із вершиною в заданій точці А, кутом при цій вершині α так, щоб дві інші його вершини, що належать основі, містилися на двох заданих кривих γ₁, γ₂ (поворот).

Задача 6. Через дану точку А провести пряму так, щоб дані дві криві γ₁, γ₂ відтинали на ній відрізки, довжини яких, рахуючи від точки А, відносилися б у заданому відношенні m/n (перетворення подібності).

Задача 7. Побудувати трикутник за двома сторонами і медіаною, проведеною до третьої сторони (центральна симетрія).

Задача 8. Побудувати трикутник АВС, якщо дані дві його сторони b і с, кут φ, що задовольняє умові В - С = φ (осьова симетрія).

Задача 9. Дано коло і точка всередині нього. Побудувати пряму, яка проходить через задану точку й відтинає хорду кола заданої довжини (поворот).

Задача 10. Побудувати трикутник за двома кутами і бісектрисою третього кута (метод подібності).

Дата добавления: 2014-01-11