Лекція №2

Диференційне рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера). Основне рівняння гідростатики. Закон Паскаля. Рівновага стисливого газу.

2.1 Диференційне рівняння рівноваги рідини (рівняння Ейлера)

Виділимо у рідині, що знаходиться у спокої, нескінченно малий об’єм у вигляді паралелепіпеда з ребрами dx, dy, dz (рис. 2.1). Подумки відкинемо рідину, яка оточує паралелепіпед, замінивши її дію відповідними силами. Нехай у центрі лівої грані у точці А тиск дорівнює p. Однією з властивостей гідростатичного тиску є те, що цей тиск у точці залежить тільки від її положення у просторі p = f(x, y, z). Допустимо, що тиск зростає у напрямку збільшення координати x. Тоді в точці А₁ у центрі правої грані з координатами x+dx, y, z діятиме гідростатичний тиск p + [∂p/∂x] dx. На ліву грань діятиме сила тиску p dy dz, а на праву – – (p +[∂p/∂x] dx) dy dz. Знак “мінус” показує, що сила діє у протилежному напрямі, бо на паралелепіпед діють сили стиску з боку зовнішньої рідини. Крім сил тиску на паралелепіпед можуть діяти масові сили (наприклад, сила тяжіння, інерції або комбінація цих сил). Рівнодіюча всіх масових сил dG прикладена до центра тяжіння паралелепіпеда. Складемо рівняння рівноваги усіх сил відносно осі x, представивши проекцію масових сил на цю вісь у вигляді dG_x = ρ dx dy dz X, де X – проекція питомих масових сил прискорення dG на вісь x; ρ dx dy dz – маса елементарного паралелепіпеда.

Рис. 2.1.

p dy dz – – (p + [∂p/∂x] dx) dy dz + ρ dx dy dz X =0.

Після перетворень отримуємо ρX – (∂p/∂x) =0. Застосувавши цю методику для осей y та z, отримаємо основні диференціальні рівняння рівноваги рідини (2.1) – рівняння Ейлера.

Оскільки частинна похідна характеризує швидкість зміни гідростатичного тиску вздовж відповідної осі, то кожне з рівнянь системи (2.1), взяте окремо від інших, дозволяє визначити закон розподілу гідростатичного тиску відносно цієї осі.

Перетворимо рівняння (2.1), помноживши перше рівняння на dx, друге на dy, третє на dz; почленно додавши їх отримаємо:

(∂p/∂x) dx+ (∂p/∂y) dy+ (∂p/∂z) dz= ρ (Xdx+ Ydy+ Zdz) (2.2)

Ліва частина цього рівняння є повним диференціалом тиску dp:

dp= ρ (Xdx+ Ydy+ Zdz) (2.3)

Останній вираз називається основним диференціальним рівнянням гідростатики.

З виразу (2.3) можна отримати рівняння для поверхні рівного тиску. При ρ = const, p= const, dp= 0 отримаємо

(Xdx+ Ydy+ Zdz) =0 (2.4)

Таким чином, геометричне місце точок з однаковим тиском p= const, dp= 0, називається поверхнею рівного тиску або поверхнею рівня. Всі точки поверхні рівного тиску мають однакову потенціальну енергію, яка відповідає масовим силам.

Дата добавления: 2014-01-11