Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Выборки элементов с повторениями




Выборки элементов без повторений

 

Простейшими комбинаторными конфигурациями являются перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки.

Пусть. Перестановкой элементов множества M называется любой упорядоченный набор элементов, состоящий из n различных элементов множества M.

Перестановки отличаются друг от друга порядком следования элементов.

Теорема. Число всех перестановок равно n!

 

Доказательство. На первом месте можно разместить n элементов, на втором – любой из оставшихся (n -1) элементов и т.д. Для последнего места остается 1 элемент. В силу правила произведения имеем:

.

Пример. Сколькими способами можно разместить 5 студентов при наличии 5 мест.

.

Размещения.

Пусть множество M состоит из n элементов. Размещением (упорядоченной выборкой) из n элементов по m элементов называется любой упорядоченный набор элементов, состоящий из m различных элементов множества M.

Теорема. Число размещений n элементов по m элементов обозначается.. Справедлива формула:

 

Доказательство. Размещение M элементов множества M можно представить, как заполнение некоторых m позиций элементами множества M. При этом первую позицию можно заполнить n способами, вторую позицию (n- 1) способами. Последнюю позицию можно заполнить (n-m+ 1) способами.

 

 

 

 

Пример. Из 10 книг производным образом берутся 3 книги и ставятся на полку. Сколько существует способов такой расстановки книг.

.

Заметим, что размещение из n элементов по n элементам представляет собой перестановку, т.е.:

 

Сочетания.

Сочетанием (неупорядоченной выборкой) из n элементов по m, где, называется неупорядоченное подмножество множества M, состоящее из n различных элементов.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по m обозначается как и определяется по формуле:

 

 

Доказательство. Если объединить размещения из n элементов по m, которые состоят из одних и тех же элементов (то есть не учитывать порядка расположения элементов), то получим сочетание из n элементов по m. Так как для каждого такого сочетания можно получить n! размещений. Тогда и, следовательно:

.

 

 

Размещением (упорядоченной выборкой) с повторениями из n элементов по m называется любой упорядоченный набор, элементы которого могут повторяться. Поскольку в упорядоченном наборе может находиться любой из n элементов, то число размещений с повторениями (обозначение такого числа) равно nm. Таким образом:

 

Пример. Из чисел 1, 2, 3, 4 составляются трехзначные числа. Сколько чисел можно получить таким образом.

.

Сочетанием (неупорядоченной выборкой) с повторениями из n элементов по m элементов называется множество, состоящее из элементов, выбранных m раз из множества M. При этом допускается выбирать элемент повторно.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается.

 

 

Пример. Сколько существует различных результатов бросания двух одинаковых кубиков.

 

 

Выбор элементов Упорядоченная Неупорядоченная
Без повторений    
С повторениями    

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 449; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.