Алгебраическая операция

Понятие отображения

Частным видом отношения является отображение (функциональное соответствие).

Отображение – это закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X, однозначно соответствует определенный элемент y, другого заданного множества Y. Такое соответствие записывается в виде y=f(x) или f:x®y, при этом говорят, что отображение f действует из X в Y и пишут f:X ®Y. Элемент y=f(x) называется образом элемента x, а x называется прообразом элемента y.

Отображение числового множества в числовое называется функцией.

Когда множества X и Y не числовые, отображение называется оператором. Отображение не числового множества в числовое называется функционалом. Отображение f:X®X называется преобразованием множества X.

Иногда рассматривают отображения f, определённое на некотором подмножестве. В этом случае называется областью определения отображения f. Подмножество Im f={f(x) | xÎX} множества Y называется областью значений (образом) f.

Сужением (ограничением) отображения f:X®Y, на подмножество AÌX, называется отображение f_A(x), заданное равенством f_A(x)=f(x), для всех xÎA.

Расширением (продолжением, распространением) отображения f:X®Y на множестве BÉX (X – является подмножеством B) называется любое отображение f_B:B®Y, совпадающее с f на множестве X.

Если заданы три множества X,Y,Z и два отображения f:X®Y и g:Y®Z, то существует отображение h:X®Z, которое определяется равенством h(x)=g(f(x)). Это отображение называется композицией (суперпозицией, произведением) отображений и обозначается gf. Композиция отображений обладает свойством ассоциативности, то есть h(gf)=(hg)f.

Отображение называется тождественным, если f(x)=x, для всех xÎX. Отображение f:X®Y называется инъективным, если для любых двух элементов, таких что следует, что. Отображение называется сюръективным, если Imf=Y. Отображение, одновременно являющееся инъективным и сюръективным называется биективным.

Отображение f: A ⁿ ® A называется n- местной алгебраической операцией на множестве A. Очевидно, что n -местная алгебраическая операция на множестве A является () – местным отношением на множестве A. При операция f: A ⁰ ® A есть {(Æ, a)} для некоторого aÎA. Эта операция называется константой на множестве A и отождествляется с некоторым элементом a этого множества. При операция f называется унарной, а при - бинарной.

Примерами унарных операций являются:

1. Элементарные функции одного аргумента - и другие;

2. Операция над множествами – дополнение;

3. Операции над отношениями – дополнение, обратное отношение, составное отношение и другие.

Примерами бинарных операций являются:

1. Арифметические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.

2. Операции над множествами – пересечение, объединение и разность.

3. Операция композиции функций, отображений, отношений.

Обозначим символом T произвольную бинарную алгебраическую операцию. Тогда операция над элементами, дающая результат записывается в виде a T b = c.

Свойства бинарных операций:

1. Ассоциативность - (a T b) T с = a T( b T с). (Выполнение этого условия означает, что скобки в этом выражении можно не расставлять.)

2. Коммутативность - a T b = b T a.

3. дистрибутивность - T (b ^ c)=(a T b)^(a T c) - дистрибутивность операции T слева относительно операции ^ и (a ^ b) T c= (a T c)(b T c) – дистрибутивность операции T справа относительно операции ^

Способы задания операций

Унарные операции задаются:

1. Перечнем всех аргументов и соответствующих им значений:

f =

2. Списком всех пар “аргумент – значение” для всех возможных значений аргументов: f ={ }.

3. Формулой, например.

Бинарные операции задаются:

1. Таблицей (таблица Кэли). Слева и сверху таблицы выписываются все значения аргументов, а на пересечении строк и столбцов – результат операции. Например, для операции “сложение по модулю 3” на множестве {0,1,2} имеет следующий вид:

2. Списком, путем перечисления всех троек. Например, для предыдущей операции:

{(0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,0,1), (1,1,2), (1.2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)}

3. Формулой или a T b = c. Например:, где - операция сложения по модулю 3.

Дата добавления: 2014-01-11