Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса

Лекция 2.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница и оценка остаточного члена знакочередующегося ряда.

Если ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов то этот ряд называется знакопеременным рядом.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится его “модульный” ряд Если же ряд сходится, а его “модульный”[2] ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Теорема 1 (об обычной сходимости абсолютно сходящегося ряда). Если ряд, то

сходится и ряд

Доказательство. Так каксходится ряд то для него справедлив признак Коши сходимости:

Тогда для ряда и указанного имеем

т.е. для ряда также выполняется признак Коши сходимости, поэтому он сходится. Теорема доказана.

Например, ряд абсолютно сходится, так как сходится его модульный ряд

В качестве условно сходящегося ряда можно указать ряд (его сходимость вытекает из теоремы Лейбница, сформулированной ниже). Его модульный ряд

расходится.

С абсолютно сходящимися рядами можно обращаться так же, как и с конечными сумма-

ми, а именно: имеют место следующие свойства абсолютно сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом перестав-

лять слагаемые; при этом вновь полученный ряд будет также сходиться абсолютно к той же сумме, что и исходный ряд.

2. Если ряд сходится абсолютно, то в нем можно произвольным образом группировать члены, заключая их в скобки; при этом ряд, полученный из просуммированных членов в скобках, будет также абсолютно сходиться к той же сумме, что и исходный ряд.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то каково бы ни было наперед задан-ное число (может быть ра́вным), можно так переставить члены этого ряда, что

вновь полученный ряд будет сходиться к числу

Ряд называется знакочередующимся, если все его члены и чередуются знаками, т.е.

Таким образом, знакочередующийся ряд имеет вид

Теорема Лейбница. Пусть в знакочередующемся ряде (1) общий член стремится к нулю, т.е. и последовательность строго убывает, т.е.

Тогда ряд (1) сходится и его сумма и й остаток удовлетворяют неравенствам При этом имеет знак (знак первого отброшен-

ного члена).

Доказательство. Запишем частичную сумму с чётными номерами и расставим в ней

скобки следующим образом:

Так как имеют место неравенства (2), то из первого представления в виде суммы скобок получаем, что и т.е. последовательность строго возрастает. Из второго представления (3) и неравенств (2) выводим неравенства Таким образом, последовательность строго возрастает и ограничена сверху, поэтому (см. свойство 7 предыдущей лекции) она имеет конечный предел Так как и так как то существует предел Значит, существуетпредел всей последовательности и поэтому ряд (1) сходится к сумме

Аналогично показываем, что последовательность частичных сумм ряда (1) с нечетными номерами:

строго убывает. В следствие строго убывания последовательности и строго возрастания последовательности и стремления их к пределу будут выполняться неравенства поэтому (в частности при) будем иметь

Первая часть теоремы доказана. Применив её к знакочередующемуся ряду легко докажем и вторую часть теоремы, т.е. неравенство Теорема полностью доказана.

Пример 1. Вычислить сумму ряда с точностью до 0,01.

Решение. Данный ряд сходится абсолютно, так его модульный ряд является обобщенным гармоническим рядом с показателем В то же время данный ряд является знакочередующимся. Для него выполнены все условия теоремы Лейбница, поэтому его остаток может быть оценен следующим образом: Мы хотим, чтобы Для этого надо взять такое чтобы откуда выводим, что Значит, частичная сумма будет решением нашей задачи.

Дата добавления: 2014-01-11