Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса

Пусть дана некоторая последовательность функций Областью опреде-

ления этой последовательности называется множество По этой последовательности можно построить ряд. Этот ряд называется функциональ-

ным рядом. Его областью определения называют множество функциональной последовательности по которой он строится. Дадим понятие поточечной сходимости этого ряда.

Определение 2. Говорят, что ряд сходится в точке к сумме если существует конечный предел его частичным сумм:. Или (на языке “ ”): если

Обращаем внимание на то, что здесь номер зависит не только от но и от точки, в которой рассматривается сходимость ряда. Если же этот номер не зависит от то указанный ряд будет сходиться к сумме равномерно на множестве Дадим строгое определение такой сходимости.

Определение 3. Говорят, что ряд сходится к сумме равномерно на множестве, если

Здесь перечеркнутое означает, что номер зависит только от и не зависит от точек (номер обслуживает все одновременно!).

Отметим следующие очевидные свойства равномерно сходящихся рядов.

3. Если ряд сходится равномерно к сумме на множестве, то он сходится равномерно и на любом подмножестве

4. Если ряды и сходятся равномерно на множестве (к суммам соответственно), то ряд также равномерно сходится на множестве (к сумме).

5 ( критерий Коши равномерной сходимости ряда ). Для того чтобы ряд сходится равномерно на множестве, необходимо и достаточно, чтобы

Введем еще некоторые понятия. Множество всех точек в которых ряд сходится, называется множеством его поточечной сходимости, а множество всех точек в которых сходится модульный ряд называется множеством его абсолютной сходимости. Ясно, что множество будет множеством условной сходимости ряда.

Обычно сначала исследуют поточечную сходимость, для чего составляют модульный ряд

и применяют к нему сформулированные ранее признаки сходимости для знакоположительных числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши и интегральный признак), фиксируя при этом мысленно аргумент Затем находят область условной сходимости (здесь обычно применяется признак Лейбница) и, наконец, область равномерной сходимости функционального ряда. При этом используют следующее утверждение.

Критерий Вейерштрасса (равномерной сходимости ряда). Пусть для функционального ряда найдется числовой ряд обладающий свойствами:

а) б) ряд сходится.

Тогда ряд сходится равномерно на множестве

(числовой ряд обладающий свойствами а) и б) называется мажорирующим рядом для ряда).

Доказательство вытекает из неравенства

Действительно, для числового ряда справедлив признак Коши сходимости, значит,

(не зависит от так как ряд числовой):

Но тогда из (4) вытекает высказывание

т.е. для функционального ряда справедлив критерий 5 равномерной сходимости. Следовательно, этот ряд сходится равномерно на множестве Теорема доказана.

Например, применяя критерий Вейерштрасса к ряду будем иметь

Так как то ряд сходится, а значит, исходный ряд сходится равномерно на всей оси Рассмотрим еще один пример.

Дата добавления: 2014-01-11