Сила тиску рідини на плоску фігуру. Центр тиску

Сила тиску рідини на плоску фігуру. Центр тиску. Сила тиску рідини на горизонтальну поверхню. Гідростатичний парадокс. Сила тиску рідини на плоску прямокутну стінку. Закон Архімеда

Лекція №3

Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности производные [3]Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию ряд сходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию ряд сходится именно к функции по которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных рядов. Второй вопрос кажется странным (разве может он сходиться не к функции?).

Однако ничего странного в нем нет, так как существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся к другим функциям. Рассмотрим, например, функцию

График этой функции указан ни рисунке. Эта функция не равна тождественно нулю в любой окрестности точки Однако её ряд Тейлора имеет вид Действительно,

.

Он, очевидно, сходится к функции в любой окрестности точки Следовательно, ряд Тейлора этой функции не сходится к ней. Посмотрим, какие следует наложить ограничения на функцию чтобы её ряд сходился именно к ней.

Запишем для неё формулу Тейлора:

где точка находится между и Из нее вытекает следующее утверждение.

Теорема 5 (необходимое и достаточное условие разложимости функции в свой ряд Тейлора). Для того чтобы функция разлагалась в ряд,сходящийся в окрестности именно к необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ее формулы Тейлора стремился к нулю, т.е.

Однако эта теорема носит теоретический характер. Прикладной характер имеет следую-

щее утверждение.

Теорема 6 (достаточные условия разложимости функции в свой ряд Тейлора). Пусть функция, т.е. является бесконечно дифференцируемой в окрестности точки Если все ее производные ограничены одной и той же константой в этой окрестности:, то рядТейлора этой функции сходится в указанной окрестности именно к (в этом случае говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности).

Доказательство этой важной теоремы мы проведем на следующей лекции, а так же дадим обоснование выписанных ниже формул Маклорена-Тейлора (заметим, что если в ряде центр раложения то его называют рядом Маклорена-Тейлора).

Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды

[1] Здесь и всюду ниже натуральное число (номер).

[2] Впредь ковычкибудем опускать.

[3]В этом случае говорят, что функция бесконечно дифференцируема в окрестности.

Дата добавления: 2014-01-11