Момент силы,

Теорема Штейнера

Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., тогда момент инерции системы м.т. равен:

, (3)

где - масса i - ой м.т.

- ее расстояние до полюса О.

Моментом инерции системы м.т. или тела относительно полюса называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса О.

Для установления связи между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей применяется теорема Штейнера:

(4)

где - момент инерции относительно новой оси

- момент инерции относительно центра масс

d – расстояние между осями

Вектором момента силы относительно полюса называют векторное произведение радиус-вектора и вектора силы:

(5)

Направление вектора момента силы находится по правилу правого винта (см. рис): перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы совпадали начала векторов и. Если вращать головку винта в направлении от вектора к вектору, то поступательное движение винта укажет направление вектора момента силы.

Модуль вектора момента силы равен:

, (6)

где - угол между радиус-вектором и линией действия силы.

Момент равнодействующей силы относительно полюса О равен геометрической сумме векторов моментов составляющих сил относительно того же полюса:

(7)

или (8)

1. Момент импульса материальной точки,

Вектором момента импульса м.т. относительно полюса О называют векторное произведение радиус – вектора и вектора импульса относительно этого же полюса.

Радиус-вектор проводится от полюса О до м. т.

(9)

Направление вектора момента импульса находится по правилу правого винта и совпадает с вектором угловой скорости.

Если учесть, что, тогда момент импульса равен:

или (10)

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Модуль вектора момента импульса равен:

, (11)

Вектор момента импульса системы м.т. от-но полюса О равен геометрической сумме векторов моментов импульса, действующих на каждую точку в отдельности от-но того же полюса О:

(12)

или

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение и тогда это уравнение можно

переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела, равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

Лекция 5. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса вращающегося тела

, (1.47)

где – масса тела; – скорость; – радиус орбиты, по которой перемещается тело; – момент инерции; – угловая скорость вращающегося тела.

Закон сохранения момента импульса:

– для вращательного движения

при;

закон сохранения импульса:

– для поступательного движения

при.

Для того чтобы изменить скорость при поступательном движении, необходимо обязательно приложить силу.

Угловую скорость можно изменить, не прикладывая силы или момент силы, достаточно изменить момент инерции. Так, фигурист, прижимая руки к телу, уменьшает момент инерции и его угловая скорость увеличивается.

Если, например, в замкнутой системе у вращающегося тела момент инерции уменьшится до величины, то скорость вращения этого тела возрастет (станет ₁,), т. е.

. (1.48)

Выражение (1.48) является законом сохранения момента импульса.

При вращательном движении скорость изменения момента импульса материальной точки равна моменту силы (при неизменном моменте инерции)

. (1.49)

Наряду с законами сохранения импульса и энергии, закон сохранения момента импульса является одним из важнейших фундаментальных законов физики.

Важным случаем является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции при вращении остается постоянным и уравнение (1.49) переходит в

.

При уменьшении момента инерции вращающегося тела его угловая скорость увеличивается (при условии, что момент внешних сил равен нулю). Изменение угловой скорости системы может происходить только за счет работы каких-то сил. Такими силами в нашем примере являются внутренние силы, действующие в системе.

Отметим свойства замкнутой системы, на которую не действуют внешние силы. Если такая система покоится, то за счет внутренних движений (внутренних сил) эту систему невозможно сместить в пространстве (поступательное перемещение).

С помощью одних только внутренних движений можно повернуть систему в пространстве на любой угол [1].

Полагаем, что под действием момента силы тело с моментом инерции вращается с угловым ускорением (). За время угловая скорость изменилась на величину – тогда из основного закона динамики вращательного движения следует

. (1.50)

Импульс момента внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен изменению его момента импульса.

Величина для вращательного движения является кинетической энергией. Выражение, аналогичное для поступательного движения записывается следующим образом:

, (1.51)

где – угловой путь, пройденный при воздействии на тело момента сил; – изменение кинетической энергии.

Лекция 6. Элементы механики сплошных сред.

Дата добавления: 2014-01-11