Закон Паскаля

Если пренебречь вначале силами тяготения, действующими на каждую частицу жидкости (или силами инерции, если таковые существуют), то из простейших соображений относительно условий равновесия элемента жидкости следует, что

p11 = p22 = p33 = p,

(2.1)

при этом давление p, являющееся скалярной величиной, одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (2.1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному элементу, но равенство нулю суммарного момента этих сил.
Для его доказательства рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд сечением S₁, закрытый сверху поршнем (рис. 2.1, левый сосуд). Если надавить на поршень с силой F₁, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). На единицу поверхности элемента жидкости будет действовать сжимающая сила f _ii = - p_ii n _i, направленное противоположно внешней нормали n _i к i-ой поверхности (на рис. 2.1 изображены только две силы).

Рис. 2.1.

Поскольку силы, действующие на противоположные грани кубика, равны по величине, то p₁₁=F₁/S₁. Равенство давлений p₁₁ и р₂₂ следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действительно, f₁₁=f₂₂=f/, поэтому р₂₂=р₁₁. Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:

(2.2)

которое и является математическим выражением закона Паскаля.
Если этот сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом сечением S₂, то при открывании крана K внутренние напряжения по жидкости, находящейся в соединительной трубке, в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд (рис. 2.1). На поршень, его закрывающий, жидкость будет давить вверх с силой

(2.3)

Если S₂>S₁, то развиваемое усилие F₂>F₁. Этот выигрыш в силе используется во многих гидроприводящих устройствах (гидроприводах): в приводе ковша экскаватора, рулей ракет и самолетов. На этом же принципе работает гидравлический пресс, гидравлический домкрат и т.д.
В системе СИ за единицу давления принимается Паскаль (Па), при этом 1Па=1Н/1м². В технике в качестве единицы давления используется техническая атмосфера: 1ат=1кГс/1см²=9,8*10⁴ Па.

Интересно отметить, что трубки тока жидкости расположены преимущественно ближе к стенке сосуда с отверстием, в то время как у противоположной (левой на рис. 3.8) стенки жидкость практически малоподвижна. Это означает, что на левую стенку действуют силы давления, которое легко посчитать, используя линейный закон нарастания гидростатического давления с глубиной, даваемой формулой (2.11). Расчет сил давления, действующих на правую стенку, требует гидродинамического решения задачи. Однако и без такого расчета ясно, что в трубке тока, примыкающей к правой стенке, давление на каждой глубине будет меньше соответствующего этой глубине гидростатического давления. Это означает, что равнодействующая сил давления, действующих на обе стенки, направлена в сторону, противоположную направлению истечения жидкости. Под действием этой силы, называемой также реактивной, сосуд, поставленный на колеса, может придти в движение. Величину этой силы легко посчитать с использованием формулы Торичелли. По 3-му закону Ньютона искомая реактивная сила равна по величине силе, с которой стенки сосуда действуют на воду, сообщая ее (по 2-му закону Ньютона) приращение импульса в направлении истечения. Поскольку масса, вытекающая через отверстие с сечением S равна, то изменение импульса в единицу времени составит величину Поэтому реактивная сила

(3.19)

Рис. 3.8.

Отметим, что если бы мы ошибочно приняли, что распределение давлений с глубиной у правой стенки было такое же, как у левой, то реактивная сила получилась бы вдвое меньшей:

(3.20)

где - величина гидростатического давления на глубине H, S - площадь отверстия в правой стенке.
Однако можно добиться одинакового (гидростатического) распределения давлений у обеих стенок, если конец трубки с острой кромкой будет отстоять от правой стенки, как показано на рис. 3.9. В этом случае реактивная сила может определяться с помощью формулы (3.20). Если же ее вычислять при помощи (3.19), то в этой формуле надо вместо сечения трубки S подставить сечение струи воды в трубке S_B=kS, где коэффициент истечения k 1/2. При таком истечении трубка будет заполнена жидкостью приблизительно наполовину.

Рис. 3.9.

Реактивную силу можно увеличить, если прежде всего повысить скорость истечения жидкости. Для этого следует использовать замкнутый сосуд с отверстием, при этом над свободной поверхностью жидкости создается давление p₁>p₀. Тогда скорость истечения жидкости из уравнения Бернулли получается равной:

(3.21)

а реактивная сила возрастает линейно с повышением избыточного давления над свободной поверхностью жидкости

.

Плавание тел. Закон Архимеда.

Из повседневной практики известно, что на тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх. Эта сила является результатом действия сил давления f_i = -p n_i рис. (2.8) и равна

(2.20)

Здесь - площадь элемента поверхности тела, n_i единичный вектор, перпендикулярный поверхности, суммирование производится по всем элементам поверхности.

Рис. 2.8.

Выталкивающая сила F_A, называемая силой Архимеда, может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине (2.11) и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Предоставляя читателю сделать такой подсчет самостоятельно, вычислим ее, исходя из более простых соображений. Извлечем из сосуда тело и дольем ту же жидкость, восстановив ее прежний уровень (рис. 2.9). Если затем мысленно выделить часть жидкости, замещающую извлеченное тело, то на нее действуют те же силы давления, что и на погруженное тело (см. формулу 2.20). Их сумма F_А не только уравновешивает силу тяжести (F_A =-m g, m - масса вытесненной жидкости), но и имеет равнодействующую, приложенную к центру масс вытесненной жидкости, или к центру объема O. Центр масс погруженного тела O₁ может не совпадать с центром объема O. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость). На рис. 2.10 схематично изображено поперечное сечение батискафа, погруженного в воду, при этом его центр тяжести, к которому приложена сила тяжести m₁ g (m₁ - масса батискафа), находится ниже точки приложения Архимедовой силы. Естественно, что при боковом наклоне батискафа момент указанной пары сил будет возвращать его в вертикальное положение.

Рис. 2.9.

Рис. 2.10.

Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания (корабля, например) достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. Хорошо известно, что карандаш никогда не плавает на поверхности жидкости в вертикальном положении. Пара сил, возникающая при неизбежном случайном отклонении карандаша от вертикали, немедленно "укладывает" его на поверхность (рис. 2.11а). Устойчиво будет плавать "горизонтальный карандаш". При его малейшем наклоне (ситуация б) он будет возвращаться в исходное горизонтальное положение. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр М находился выше центра масс судна в т. О. Этот метацентр является центром кривизны кривой O₁''O₁O₁', проходящей через центры объемов погруженных частей корпуса корабля, сменяющих друг друга при его боковой качке (рис. 2.12). Из рисунка видно, что метацентр находится на пересечении плоскости симметрии судна с линией действия Архимедовой силы. При строительстве судов добиваются того, чтобы расстояние OM в несколько раз превышало расстояние OO₁.

Рис. 2.11.

Рис. 2.12.

Рассмотрение гидростатики несжимаемой жидкости было бы не полным, если бы мы не коснулись вопроса о силах давления, действующих на дно и стенки сосуда с жидкостью. Удобно это сделать, обратившись непосредственно к примерам.
Пример 1. Если в цилиндрический сосуд с площадью основания S налита вода, масса которой m, до уровня H (рис. 2.13а), то давление жидкости на дно сосуда (без учета силы атмосферного давления) приведет к возникновению силы, равной весу налитой жидкости. Если на поверхность жидкости опустить плавающее тело массы m₁, то давление на дно жидкости увеличится на величину, где - высота подъема уровня жидкости (рис. 2.13б). Дополнительная сила, приложенная ко дну,. Поскольку объем цилиндрического слоя равен объему погруженной части тела, то величина равна силе Архимеда и, естественно,. Показания весов, на которые поставлен сосуд с водой, при помещении в него плавающего тела возрастут на эту величину.

Рис. 2.13.

Пример 2. Если два легких конических сосуда одинаковой высоты наполнить водой и расположить их так, как показано на рис. 2.14, то в ситуации (а) сила давления на дно сосуда с площадью сечения S₂ будет больше веса жидкости:. В ситуации (б), наоборот,. Между тем, при взвешивании сосудов весы покажут одинаковый результат. На первый взгляд, мы столкнулись с парадоксом. Парадокс, однако, разрешается просто, если мы примем во внимание, что весы измеряют силу давления сосуда на чашку весов, равную той силе, с которой жидкость действует на весь сосуд, включая действие на его наклонные боковые стенки. В обеих ситуациях сумма всех этих элементарных сил одинакова и равна весу жидкости mg.

Рис. 2.14.

Дата добавления: 2014-01-11