Кільце многочленів

Многочлени від однієї змінної

Многочлени

References

Finland - Constitution, http://www.servat.unibe.ch/icl/fi00000_.html,

Inhofe, James M. (8 May 2007). "Senate Bill S.1335: S. I. Hayakawa Official English Language Act of 2007". Library of Congress. http://thomas.loc.gov/cgi-bin/query/z?c110:S.1335:.

King, Peter T. (12 February 2007). "House Bill H. R. 997: English Language Unity Act of 2007". Library of Congress. http://thomas.loc.gov/cgi-bin/query/z?c110:H.R.768:. King, Peter T. (31 January 2007). "House Bill H. R. 769: To amend title 4, United States Code, to declare English as the official language of the Government of the United States, and for other purposes.". Library of Congress. http://thomas.loc.gov/cgi-bin/query/z?c110:H.R.769:.

Official Language related—Part 17 of the Constitution of India, Government of India, http://rajbhasha.nic.in/consteng.htm.

Statement on the Irish Language 2006 (PDF). Government of Ireland. http://www.pobail.ie/en/IrishLanguage/StatementontheIrishLanguage2006/file,7802,en.pdf.

Trudgill, Peter (ed.), Language in the British Isles, Cambridge University Press, 1984.

Многочленом (поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, де n – довільне ціле невід’ємне число, a_n, a_n-1,..., a₁, a₀ – елементи цілісного кільця R, x, x², …, x^n-1, xⁿ – деякі символи.

х^k називають k-м степенем змінної (невідомого) х, a_k – k-м коефіцієнтом многочлена, a_kx^k – k-м членом многочлена (k = 0,1,..., n); a₀ називають ще вільним членом.

Позначають многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R – R[x].

Відмінний від нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степ інь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь).

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням степеня x^k, називають канонічною. Елемент a₀ називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом (позначають θ(х) = 0).

Нехай задано два многочлени:

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, a_iR, i = 0, 1, …, n,

g(x) = b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₁x+b₀, b_jR, j = 0, 1, …, m.

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумою многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

.

Добутком многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

де при i›n, при j›m.

Приклад.

c_n+m-1=a_n+mb₀ + a_n+mb₁+…+ a_n+1b_m-1 + a_nb_m + a_n-1b_m+1 +…+ a₁b_m+n-1 + a₀b_n+m= a_nb_m,

c_n+m-1=a_n+m-1b₀ + a_n+m-2b₁+…+ a_n+1b_m-2 + a_nb_m-1 + a_n-1b_m + a_n-2b_m+1 +…+ a₀b_n+m-1= a_nb_m-1+ a_n-1b_m,

…………

c₁= a₁b₀+ a₀b₁,

c₀= a₀b₀.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів.

Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів зводиться до виконання аналогічних операцій над їх коефіцієнтами, які є елементами деякого цілісного кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже, R[x] – комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо то якщо то Отже має старший коефіцієнт (оскільки в R немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином, R[x] – цілісне кільце.▲

Дата добавления: 2014-01-11