Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів. Позначається [f, g].

Теорема. Для довільних ненульових многочленів f(x), g(x) НСК існує і

визначається з точністю до сталого множника.

Доведення. Для доведення розглянемо многочлен який, очевидно, є спільним кратним f(x) та g(x), оскільки ділиться на кожний з них. Нехай s(x) –довільне інше спільне кратне многочленів f(x) і g(x). Тоді і , звідки s(x)=s₁(x)·f(x), а також тобто

Замінимо f(x)=(f, g)·f₁(x), g(x)=(f, g)·g₁(x), де (f₁, g₁)=1. Звідси

.

Із (f₁, g₁)=1 випливає, що тобто s₁(x)=g₁(x)·t(x), звідки Отже,

Це означає, що q(x) – найменше спільне кратне многочленів f(x) та g(x).

Якщо q₁(x) – інше НСК, то і , тобто q_l(x) та q(x) відрізняються тільки сталим множником.▲

г) Звідність многочленів

Многочлен f(х)Р[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константою і не має дільників, відмінних від константи та асоційованих з ним многочленів (аналог простого числа). В іншому випадку многочлен називають звідним (аналог складеного числа). Поняття звідності є відносним і залежить від поля Р, над яким розглядається многочлен.

Приклад.

Многочлен f(х)=x незвідний у полі Q, але звідний у полі R:

f(x)= (x-)(x+ );

многочлен f(x)= x+3 незвідний в полях Q, R, але звідний у полі С:

f(x)= (x-i)(x+i ).

Якщо многочлен f(х) незвідний у полі Р, то він вже є добутком незвідних в даному полі многочленів (один співмножник). Якщо многочлен f(х) звідний у полі Р, то, розклавши його і всі його співмножники в добуток незвідних многочленів у даному полі, отримаємо зображення многочлена, яке називають розкладом многочлена f(х) на незвідні множники:

f(x)=р(х)р(х)...р(х), де р(х) – незвідні в полі Р, і =1,2,..., l.

Звідси випливає ще один запис многочлена f(x):

f(x)=[p(x)][p(x)]…[p(x)],

де р(х) – попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні в полі Р.

Таке зображення називають канонічним розкладом многочлена f(x) в полі Р.

д) Корені многочленів

Коренем многочлена f(x)Р[x] називається елемент будь-якого розширення поля Р такий, що f () = 0.

Теорема . Елемент Є Р є коренем многочлена f(x)Р[x] тоді і тільки тоді,

коли многочлен f(х) ділиться на х-α.

Доведення. За теоремою Безу f(х)=(х-)f(x)+ f(). Звідси, f(х) ділиться на х- тоді і тільки тоді, коли f() =0, тобто коли – корінь f(х). ▲

Інше (рівносильне при =Р) означення кореня.

Коренем многочлена f(х)Р[x] називається такий елемент α Р, для якого f(х)х-α.

Елемент α Р називається к- кратним коренем многочлена f(х)Р[x], якщо f(х) ділиться на (х-α), але не ділиться на (х-α).

Кількість усіх можливих коренів многочлена f(х) над полем Р не перевищує степеня многочлена.

На питання, чи кожен многочлен ненульового степеня має хоча б один корінь, відповідь дає твердження, відоме під назвою теореми Кронекера:

Якщо f(х)-довільний многочлен ненульового степеня над полем Р, то існує розширення К поля Р, в якому є корінь f(х).

Наслідком із цього твердження є наступне:

Для довільного многочлена f(х)P[x] ненульового степеня існує таке розширення L поля Р, в якому f(х) розкладається на лінійні множники. Тобто, якщо ,,...,L є коренями многочлена f(х), то

f(x)=a(x-)(x--)…(x-),

де а -старший коефіцієнт f(х).

Поле L, в якому многочлен f(x) розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Приклад.

Знайти поле розкладу для многочлена f(x)=x- 4.

x- 4=(x- 2)(x+ 2)=(x -)(x+)(x-i)(x+i).

Оскільки корені -,, -і , і належать полю С, то поле С і є полем розкладу многочлена f(x)=x- 4.

Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для довільного многочлена f(х)P[x] ненульового степеня, тобто якщо всі корені будь-якого многочлена f(х)P[x] належить цьому ж полю.

Поле С комплексних чисел є прикладом алгебраїчно замкнутого поля.

Теорема Вієта. Якщо , , ..., - корені многочлена

f(х)=ах+ах+...+ах+аP[x], то

++...+= - ,

+,

………………………………………………………….

.

Доведення цього твердження здійснюється прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях х в обох частинах.

Теорема 1. Якщо незвідний в полі Р характеристики 0 многочлен q(x) є

множником кратності k>1 многочлена f(x), то він є множником

кратності k-1 для похідної f¢(х).

Доведення. Якщо q(x) - множник кратності k многочлена f(х), то

f(x)=[q(x)]·(x), де φ(x) q(x).

Тоді

f¢(x)=k[q(x)]·q¢(x)·¢(x)=[q(x)]^k-1·[k·q¢(x)·¢(x)].

Видно, що .

Залишилось показати, що вираз в других квадратних дужках не ділиться на . Перший доданок на не ділиться, оскільки має нижчий степінь, ніж , а φ(x) q(x) за умовою. Другий доданок ділиться на . Тоді сума

цих доданків на не ділиться. Отже, , тобто - множник кратності k-1. ▲

Дата добавления: 2014-01-11