Понятие разностного уравнения

Разностные уравнения

Для скалярной функции скалярного переменного производная определяется соотношением . Поэтому для дифференцируемых функций, при достаточно малых , ошибка от замены производной разностью будет также мала.

Подставляя в дифференциальное уравнение вместо производной разность имеем или, что тоже самое, . Полученное соотношение называется разностным уравнением первого порядка. Зная , можем последовательно найти . Обычно в разностных уравнениях берут . Вводя обозначение , приведённое выше разностное уравнение первого порядка, можем записать в виде .

Расчетные формулы численного решения дифференциальных, в том числе и формула метода Эйлера, представляют собой разностные уравнения, к более подробному изложению которых мы и переходим.

Для упрощения изложения будем считать, что отрезок разбит на части равноотстоящими точками (равномерной сеткой). В общем случае, то есть при произвольном разбиении отрезка , проделать приведённые ниже рассуждения не сложно, только формулы будут более громоздкими. Приблизить первую производную можно не только с помощью разности , а, например, симметричной конечной разностью . Заменяя в дифференциальном уравнении первую производную этой разностью получаем или, что тоже самое, , которое представляет собой разностное уравнение второго порядка. В общем виде, приведённое выше разностное уравнение второго порядка, можем записать в виде . Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение второго порядка . По определению второй производной можем записать

.

Тогда Поэтому вторую производную заменяют конечной разностью и в приведённых выше обозначениях дифференциальное уравнение перепишется в виде . Таким образом, разностное уравнение первого порядка может быть записано в виде , а уравнение второго порядка в виде . Ясно, что для получения конкретного решения разностного уравнения первого порядка нужно знать начальное значение , а для получения конкретного решения уравнения второго порядка необходимо знание двух значений и . Прослеживается связь между разностными уравнениями и задачей Коши для дифференциальных уравнений. В общем случае разностное уравнение порядка может быть записано в виде . Если удаётся разрешить это уравнение относительно , то разностное уравнение записывается в виде .

Дата добавления: 2014-01-11