Теорема 3. Достаточное условие точки перегиба

Теорема 2. Необходимое условие точки перегиба.

Если для функции y = f (x) выполняются следующие условия:

1) f(x), f ‘ (x), f ‘’ (x) – непрерывны в точке x_o;

2) f(x) имеет в x_o точку перегиба,

то f ‘’ (x) = 0 или f ‘’ (x_o) = ∞.

Доказательство:

следует из теоремы 1. Если в x_of ‘’ (x_o) >0 или f ‘’ (x_o) < 0, то в точке x_o либо вогнутость, либо выпуклость, т.е. перегиба нет.

Теорема доказана.

Если для функции y = f (x) выполняются следующие условия:

1) f(x), f ‘ (x), f ‘’ (x) – непрерывны в точке x_o;

2) при переходе через x_of ‘’ (x) меняет знак,

то в x_o – точка перегиба.

Доказательство:

следует из теоремы 1.

Пример:

Определим знак y’ в интервалах между критическими точками:

Таким образом, х = 1 – точка минимума, у (1) = 0.

Определим знак у’’ в интервалах между критическими точками 2-го рода (нулями у’’):

Таким образом, х = 0 и х = 2/3 – точки перегиба, у (0) = 1; у (2/3) = 11/27.

График данной функции имеет вид:

Дата добавления: 2014-01-11