Использование разложения полиномов на простые множители, например, , где и корни уравнения

Использование свойств функций, например,

.

Пример 5. Вычислить .

.

Пример 6. Вычислить .

.

Пример 7. Найти .

По теореме Виета уравнение имеет корни и , сле-довательно, разложение квадратичного полинома на простые множители имеет вид: . Подставим полученное выражение в под-интегральную функцию, получим

.

2. Метод замены переменной интегрирования.

Данный метод основан на формуле .

Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:

а) Если аргумент функции отличается от простого аргумента , то этот сложный аргумент принимается в качестве новой переменной интегрирования .

Пример 8. Вычислить .

Так как показатель степени экспоненты отличается от простого аргумета , то этот показатель степени принимаем в качестве новой переменной интегрирования, т.е. .

З4. После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.

Пример 9. Вычислить .

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумета , поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

.

Пример 10. Вычислить .

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумета , поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

.

б) Если элементарная функция, содержащаяся в подинтегральном выражении, имеет простой аргумент и в качестве множителя при присутствует первая производная этой функции, то в качестве новой переменной интегрирования принимается эта элементарная функция.

Пример 11. Найти .

В подинтегральном выражении содержится элементарная функция и в ка-

честве множителя при присутствует ее первая производная , следовательно, в качестве новой переменной интегрирования принимаем :

.

Пример 12. Найти .

Данный пример объединяет первый метод с методом замены переменной интегрирования. Выполним почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и разобъем интеграл на два интеграла, для которых применяются два случая замены переменной интегрирования

.

З5. Умение отыскивать подходящую замену вырабатывается в процессе многократных упражнений, однако можно указать ряд случаев, когда можно сразу увидеть необходимую замену переменной интегрирования при анализе подинтегрального выражения, например,

.

Из показанных примеров видно, что умение хорошо интегрировать зависит от хорошего знания таблицы производных от элементарных функций (см. Лекцию № 18 из Первого семестра).

3. Метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на использовании формулы дифференциала от произведения двух функций , откуда находим, что произведение . Таким образом, для неопределенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид:

.

Для того чтобы знать, какую из функций принимать за (все остальное в

подинтегральном выражении принимается за ), рассмотрим наиболее час-

то встречающиеся случаи:

Дата добавления: 2014-01-11