Т4. (о среднем интегральном значении подинтегральной функции) Если функция непрерывна на сегменте , то существует такая точка , что

Т3..

Док-во. Так как функция непрерывна на сегменте и достигает своих наименьшего и наибольшего значений, то из неравенств Т2 следует, что . С другой стороны, по свойству для непрерывных функций (Т6 Лекции № 16, Первый семестр) существует хотя бы одна точка такая, что . Сравнивая полученные неравенства получаем, что .

О4. Величина называется средним интегральным значением функции на сегменте .

Лекция № 8 “Методы вычисления определенного интеграла”

1. Вычисление определенного интеграла на основе его определения.

В качестве вычисления определенного интеграла согласно его определения рассмотрим вычисление интеграла . Разобъем исходный интервал на элементарных интервалов с одинаковой длиной . На каждом -ом элементарном отрезке выберем произвольную точку следующим образом: ; ; ; … . Вычислим интегральную сумму ()

.

Перейдем к пределу, устремив к бесконечности (при этом ), получим

.

2. Производная от определенного интеграла с

переменным верхним пределом интегрирования.

Определенный интеграл зависит как от подинтегральной функции , так и пределов интегрирования и .

О1. Если верхний предел интегрирования в определенном интеграле () является переменной величиной, то интеграл называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегри-рования.

Дата добавления: 2014-01-11