Т2. Пусть функция непрерывна на сегменте и пусть , причем первая производная этой функции непрерывна на

.

Т1. (теорема Барроу) Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования равна значению подинтегральной функции на верхнем пределе интегрирования, т.е.

Док-во. Рассмотрим значение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования в приращенной точке, т.е.

.

Следовательно, приращение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования будет равно . Согласно Т4 Лекции № 7 можно записать, что . Таким образом, получаем, что . Переходя в этом равенстве к пределу при , находим, что .

Пример 1. Найти производную от интеграла .

По теореме Барроу имеем .

3. Формула Ньютона-Лейбница.

В силу того, что по теореме Барроу , то величина является первообразной для функции . Если функция является другой первообразной для функции , то в соответствии с Т2 Лекции № 1, они связаны соотношением . При имеем . Откуда находим, что . При с учетом полученного выражения для постоянной интегрирования находим формулу Ньютона-Лейбница

.

З1. Согласно формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен разности между значением первообразной на верхнем пределе интегрирования и значением первообразной на нижнем пределе интегрирования.

Пример 2. Вычислить .

Найдем первообразную для подинтегральной функции и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

.

4. Метод замены переменной интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-11