Тема: Дифференциальные уравнения

Лекция № 12 “Дифференциальные уравнения I порядка”

1. Основные определения.

О1. Соотношение вида (– независимая переменная, – неизвестная функция, подлежащая отысканию, – ее производные вплоть до порядка ) называется дифференциальным уравнением порядка .

О2. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

О3. Дифференциальным уравнением I порядка называется соотношение вида .

О4. Если удается выразить производную из заданного соотношения, определяющего дифференциальное уравнение I порядка (ДУI), то говорят, что уравнение разрешено относительно первой производной.

Используя определение производной через отношение дифференциалов

функции и аргумента, можно ДУI записать в виде , которое в общем виде можно записать так .

О5. Дифференциальное уравнение называется ДУI, записанным в дифференциалах.

О6. Процесс решения ДУ называется интегрированием, а график функции, определяющей решение ДУ, называется интегральной кривой.

Пример 1. Найти интегральные кривые ДУI .

Так как первообразной для заданного уравнения является функция , где – постоянная интегрирования, то линия определяет интегральную кривую, а функция определяет интегральные кривые.

О7. Общим решением ДУI называется функция такая, что

– при любом значении эта функция удовлетворяет данному уравнению;

– каковы бы ни были и , принадлежащие области определения функции , существует единственное значение такое, что .

О8. Частным решением ДУI называется функция, которая получается из общего решения при конкретном значении постоянной интегрирования .

З1. Решение ДУ может быть получено в явном, неявном или параметри-ческом виде.

Для нахождения частного решения ДУI задается начальное условие в виде

или .

О9. Нахождение частного решения ДУ называется задачей Коши.

Геометрический смысл ДУ состоит в следующем: правая часть ДУ задает в каждой точке производную, т.е. она определяет тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой. Совокупность отрезков, определяющих касательные к интегральной кривой, дают поле направлений для интегральной кривой.

О10. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одно и то же значение.

Пример 2. Построить поле направлений и изоклины для ДУI .

Правая часть данного уравнения определяет концентрические окружности с центром в начале координат, следовательно, поле направлений и изоклины имеют вид (Рис. 18):

Рис. 18. Поле изоклин для дифференциального урав-

нения первого порядка .

Дата добавления: 2014-01-11