Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Т2. Если функции и линейно-зависимы на сегменте , то на этом отрезке вронскиан тождественно равен нулю




.

Откуда находим . С учетом определения функции вновь получаем ДУ I с разделяющимися переменными: . Разделяя переменные и интегрируя, получим .

З1. Отметим тот факт, что общее решение ДУ II содержит две постоянные интегрирования и .

2). ДУ II, явным образом разрешенное относительно второй производной,не содержит неизвестной функции: . В этом случае производят замену и с учетом того факта, что , ДУ II сводится к ДУ I, решение которых было изучено в предыдущих лекциях: .

Пример 1. Решить ДУ II .

В данном дифференциальном уравнении второго порядка в явном виде отсутствует неизвестная функция , поэтому проведем замену и с учетом того факта, что , ДУ II сводится к ДУ I , в котором переменные разделяются . Интегрируя это равенство, получим

.

 

Вновь разделим переменные ; и проинтегрируем полученное равенство .

3). ДУ II, явным образом разрешенное относительно второй производной, не содержит аргумента: . В этом случае производят замену и с учетом того факта, что , ДУ II сводится к ДУ I: .

Пример 2. Решить задачу Коши: .

Данное уравнение не содержит в явном виде аргумента, поэтому воспользуемся заменой . С учетом того факта, что , ДУ II сведем к ДУ I: . Разделим переменные , после чего проинтегрируем это равенство . Потенцируя полученное выражение, находим, что . Откуда . Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями, т.е. подставим в найденное равенство , получим . Вновь разделяя переменные, найдем, что . Интегрируя это равенство, получим выражение для искомой функции . Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями, т.е. подставим в найденное равенство , получим . Таким образом, решение задачи Коши после взятия функции синус от обеих частей равенства имеет вид

.

2.Линейные ДУ II.

О2. Линейным ДУ II называется дифференциальное уравнение второго порядка вида , где , и – заданные непре-рывные функции или постоянные величины.

О3. Функция называется правой частью линейного ДУ II. Если , дифференциальное уравнение второго порядка называется однородным, в противном случае, когда неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго по-

 

рядка (ЛОДУ II) и выясним структуру его общего решения.

О4. Две функции и называются линейно-зависимыми, если выполняется равенство , в противном случае эти функции назы-ваются линейно-независимыми.

Т1. Если две линейно-независимые функции и являются частными решениями линейного однородного ДУ II, то функция также является решением этого уравнения.

О5. Определитель, составленный из частных решений ЛОДУ II и и их первых производных, называется определителем Вронского или вронскианом .

Док-во. Пусть , тогда и . Следовательно, определитель Вронского в соответствии со свойствами определителей (см. Лекцию № 1, Первый семестр).

Т3. Если функции и два частных решений ЛОДУ II и их определитель Вронского тождественно равен нулю на сегменте , то на этом отрезке функции и линейно-зависимы.

Док-во. Пусть точка , для которой и . Обозначим отношение , тогда имеет место равенство . По условию теоремы определитель Вронского ,следовательно,

.

Так как , то . Рассмотрим функцию

.

Эта функция является решением ЛОДУ II, так как функции и два частных решений ЛОДУ II, а функция – их линейная комбинация. Функция и ее первая производная удовлетворяют нулевым начальным условиям, так как и . Отсюда следует, что , так как решение является единственным решением ЛОДУII, удовлетворяющим нулевым начальным условиям. Отсюда следует, что , т.е. функции и линейно-зависимы.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 366; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.