Тогда, если сходится несобственный интеграл I рода , то сходится и ряд , а в случае расходимости несобственного интеграла I рода – расходится и ряд

Док-во. Изобразим графически функцию (Рис. 21):

Рис. 21. Непрерывная функция, отображающая

числовой ряд.

...

Так как функция монотонно убывает, то для любого и справедливы неравенства . Проинтегрируем эти неравенства . В силу того, что и , то вводя обозначение , перепишем неравенство в виде . Составим для ряда -ую частичную сумму

.

Если интеграл сходится, то является конечным числом, а по признаку сравнения будет сходиться и ряд , в противном случае, когда , интеграл расходится, следовательно, будет расходиться и ряд .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд , если .

Так как , то введем в рассмотрение определенную и непрерывно убывающую на луче функцию и вычислим несобственный интеграл I рода при : . Отсюда видно, что

– при предел будет равен , т.е. интеграл расходится, следовательно, и данный ряд тоже расходится;

– при предел равен , т.е. интеграл сходится, следовательно, и данный ряд тоже сходится.

Рассмотрим случай, когда , т.е. исследуем на сходимость ряд .

О2. Ряд называется гармоническим рядом, а ряд – обобщенным гармоническим рядом.

Так как , то введем в рассмотрение определенную и непрерывно убывающую на луче функцию и вычислим несобственный ин-теграл I рода: . Отсюда видно, что по интегральному признаку Коши гармонический ряд расходится.

Лекция № 20 “Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница”

1. Признак Лейбница.

Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, причем для удобства изучения будем считать, первый член ряда всегда имеет положительный знак.

О1. Ряд вида () на-зывается знакочередующимся рядом.

Для изучения сходимости таких рядов применяют достаточный признак схо-димости Лейбница:

Т1. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда образуют монотонно убывающую последовательность () и общий член последовательности при стремится к нулю (), то ряд сходится. При нарушении хотя бы одного условия теоремы ряд расходится.

Док-во. Пусть дан знакочередующийся ряд и пусть и . Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

.

Все разности в круглых скобках положительны в силу монотонного убывания последовательности, составленной из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда, поэтому последовательность сумм с четным числом членов ряда является возрастающей. Докажем, что она ограничена сверху, для чего представим частичную сумму в виде

.

Так как величина, стотящая в квадратных скобках положительна, то , т.е. для любого последовательность частичных сумм с четным числом членов будет ограниченной. Отсюда следует существование конечного предела частичных сумм с четным числом членов, т.е. . Последовательность частичных сумм с нечетным числом членов можно записать в виде . Перейдем в этом равенстве к пределу при , получим

,

так как по второму условию теоремы. Таким образом, произ-вольная последовательность частичных сумм членов знакочередующегося ряда сходится к пределу , что говорит о сходимости знакочередующегося ряда.

Дата добавления: 2014-01-11