В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно переставлять его члены, при этом сумма ряда не изменится

З1. Отметим, что в зависимости от того, как группируются члены знакочередующегося ряда можно получить любое число, например, пусть дан ряд. Если сгруппировать его члены следующим образом, то получим, что его сумма равна единице, а если сгруппировать так, то получим, что его сумма равна нулю.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

В развернутом виде данный ряд имеет вид . Последовательность, составленная из абсолютных величин членов этого ряда, удовлетворяет обоим условиям признака Лейбница: а) – монотонно убывает; б) . Отсюда следует, что данный ряд сходится.

2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных ряда.

О2. Ряд, члены которого имеют произвольные знаки, называется знако-переменным или произвольным.

З2. Знакочередующиеся ряды являются частным случаем переменных рядов.

Пусть дан ряд , члены которого могут быть отрицательными, нулевыми или положительными. Составим из модулей членов ряда новый ряд , т.е. этот ряд состоит только из положительных членов.

Т2. Если ряд сходится, то сходится и ряд .

Док-во. Пусть ряд сходится. Обозначим через его -ую частичную

сумму. В силу того, что ряд сходится, то . Очевидно, что для любого числа выполняется неравенство , так как члены ряда неотрицательны. Составим из ряда два ряда и , составленные из положительных и отрицательных членов, соответственно. Обозначим частичные суммы этих рядов через и , соответственно. Тогда -ая частичная сумма ряда будет равна . Ясно, что последовательности частичных сумм и не убывают, так как члены рядов и удовлетворяют неравенствам и . Следовательно, по признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость рядов и , т.е. и . Тогда . Из полученного равенства следует, что ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда, получим ряд . Данная сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем , которая равна , т.е. полученный ряд сходится. По признаку сравнения сходится и исходный ряд.

О3. Если ряд, составленный из модулей членов переменного ряда, сходится, то исходный переменный ряд называется абсолютно сходящимся.

О4. Если ряд, составленный из модулей членов переменного ряда, расходится, а исходный переменный ряд сходится, то переменный ряд называется условно сходящимся.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

При ряд, составленный из модулей членов знакочередующегося ряда, сходится (см. Лекцию № 19), следовательно, исходный ряд является абсолютно сходящимся. При ряд, составленный из модулей членов знакочередующегося ряда, расходится, но по признаку Лейбница исходный переменный ряд будет сходиться, следовательно, исходный переменный ряд является условно сходящимся.

3. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Дата добавления: 2014-01-11