Если два ряда являются абсолютно сходящимися, то их произведение также будет абсолютно сходящимся рядом

Члены, при этом сумма ряда не изменится.

В абсолютно сходящемся ряде можно произвольно группировать его

Лекция № 21 “Функциональные ряды”

1. Функциональный ряд. Критерии Коши и Вейерштрассе.

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции. Пусть задана последовательность функций , которые имеют общую область определения.

О1. Если в точке , то эта точка называется точкой сходимости последовательности функций при условии, что отлично от бесконечности.

О2. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости последовательности функций .

О3. Выражение вида называется функциональным рядом.

З1. Если область является областью сходимости последовательности функций , то она является также областью сходимости функционального ряда, членами которого являются функции последовательности.

О4. Последовательность функций называется равномерно сходящейся к функции на области , если выполняется равенство

.

О5. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на области , если равномерно сходится последовательность частичных сумм .

О6. Суммой функционального ряда называется предел последовательности частичных сумм при , т.е. .

Рассмотрим критерий Коши, который устанавливает признак равномерной сходимости любой последовательности.

Т1. Для того, чтобы последовательность функций равномерно сходилась на области определения , необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа существовал бы такой номер , что , и любого положительного числа выполнялось неравенство .

Док-во. 1). Необходимость. Пусть последовательность функций на области равномерно сходится к функции (). Это означает,

что для любого положительного числа существует такой номер , что и выполняется неравенство . Так как это

неравенство выполняется , то оно справедливо и для всех номеров , т.е. . Тогда можно записать, что

.

2). Достаточность. Пусть выполняется неравенство . Докажем сходимость последовательности функций на области , а затем ее равномерную сходимость к функции (). Так как для любого фиксированного значения получаем числовую последовательность, то при сходимости этой числовой последовательности будет сходится и функциональная последовательность , причем . Это говорит о том, что для любого положительного числа существует такой номер , что и выполняется . Перейдем в исходном неравенстве к пределу при , получим . Полагая , находим, что последовательность функций на области равномерно сходится к функции (), что эквивалентно выполнению предельного равенства .

Рассмотрим признак сходимости функционального ряда согласно критерию Вейерштрассе.

Дата добавления: 2014-01-11