Метод замены переменной

Метод интегрирования по частям

Формула Ньютона-Лейбница

Интеграл от четных (нечетных), периодических функций

Метод замены переменной

Метод интегрирования по частям

Формула Ньютона-Лейбница

План

Лекция 17. Вычисление интеграла Римана

Вопросы

1. Погрешность формулы средних прямоугольников на элементарном отрезке.
2. Погрешность формулы трапеций на элементарном отрезке.
3. Какая из квадратурных формул трапеций и средних прямоугольников точнее? Почему?
4. Формула Симпсона, ее связь с квадратурными формулами прямоугольников и трапеций.
5. Порядок точности формулы.
6. Для каких функций не дает погрешности квадратурная формула трапеций, средних прямоугольников, Симпсона? Почему?
7. Метод Рунге оцнки погрешности численного интегрирования.

Теорема 1 (Основная теорема интегрального исчисления). Если функция непрерывна на, то она имеет первообразную на этом сегменте.

Доказательство. Рассмотрим функцию на. Поскольку непрерывна в каждой точке, то по теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом для будет выполняться равенство:

,

а потому является первообразной для на, что и нужно было доказать.

Пусть непрерывна на и - одна из первообразных для. Тогда

.

Действительно, по основной теореме интегрального исчисления функция также является одной из первообразных для. Две первообразные для одной функции могут отличаться лишь на постоянную, то есть:

. (10)

Надо определить постоянную. Учитывая равенство (10), имеем:

,

и формула (10) будет иметь вид:

. (20)

Пусть теперь. Тогда, с одной стороны,

, (30)

а с другой стороны, учитывая (20),

. (40)

Тогда из (30) и (40) получим:

,

что и нужно было доказать.

Теорема 2. Пусть интегрируема на и - одна из первообразных для на. Тогда

. (50)

Формула (50) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Пусть - произвольное разбиение.

. (60)

Функция на каждом частичном сегменте удовлетворяет теореме Лагранжа, поэтому:

. (70)

Учитывая формулу (70), формула (60) будет иметь вид:

. (80)

Правая часть (80) - это интегральная сумма для функции, которая отвечает разбиению. Поскольку функция по условию теоремы является интегрируемой на, то существует и:

.

Теорема 3. Пусть функции,,, определены и непрерывны на. Тогда

, (90)

или иначе:

.

Доказательство. Поскольку функции,,, непрерывны на, то каждый интеграл в (90) существует. Поскольку

,

то функция - это одна из первообразных для функции. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница:

что и нужно было доказать.

Пример.

.

Теорема 4. Пусть нужно вычислить, где - непрерывна на. Пусть, и удовлетворяет следующим условиям:

1. определена и непрерывна на;

2. непрерывна на;

3.,

тогда

. (100)

Доказательство. Оба интеграла в (100) существуют. Пусть - первообразная для на. Тогда - первообразная для на. По формуле Ньютона-Лейбница

;

.

Замечание. Пусть функция определена и непрерывна на сегменте, к тому же. Функция определена, непрерывна и имеет непрерывную на, при этом, и принимает свои значения в, тогда имеет место формула (100), то есть значения могут выходить за границы.

Пример. При вычислить

Дата добавления: 2014-01-11