Метод заміни змінної

Метод інтегрування за частинами

Формула Ньютона-Лейбніца

Інтеграл від парних (непарних), періодичних функцій

Метод заміни змінної

Метод інтегрування за частинами

Формула Ньютона-Лейбніца

План

Лекція 17. Обчислення інтегралу Римана

Вопросы

Интеграл от четных (нечетных), периодических функций

Утверждение 1. Пусть - периодическая функция с периодом. Тогда

для.

Утверждение 2. Пусть - интегрируема по Риману на и является нечетной на. Тогда

.

Утверждение 3. Пусть - интегрируема по Риману на и является четной на. Тогда

.

1. Основная теорема интегрального исчисления. Доказать.

2. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

3. Методы вычисления определенного интеграла Римана.

4. Что можно сказать об определенном интеграле Римана от периодической функции?

5. Что можно сказать об определенном интеграле Римана от четной функции на сегменте, который является симметричным относительно начала координат?

6. Что можно сказать об определенном интеграле Римана от нечетной функции на сегменте, который является симметричным относительно начала координат

Теорема 1 (Основна теорема інтегрального числення). Якщо функція неперервна на, то вона має первісну на цьму сегменті.

Доказ. Розглянемо функцію на. Оскільки неперервна в кожній точці, то за теоремою про диференціювання інтеграла з перемінною верхньою границею для буде виконуватися рівність:

,

а тому є первісною для на, що й потрібно було довести.

Нехай неперервна на и - одна з первісних для. Тоді

.

Дійсно, за основною теоремою інтегрального числення функція також є одною з первісних для. Дві первісні для одної функції можуть відрізнятися лише на сталу, тобто:

. (10)

Треба визначити сталу. Враховуючи рівність (10), маємо:

,

і формула (10) буде мати вигляд:

. (20)

Нехай тепер. Тоді, з одного боку,

, (30)

а з іншого боку, враховуючи (20),

. (40)

Тоді з (30) і (40) отримаємо:

,

що й потрібно було довести.

Теорема 2. Нехай інтегрована на и - одна з первісних для на. Тоді

. (50)

Формула (50) називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доказ. Нехай - довільна розбивка.

. (60)

Функція на кожному частковому сегменті задовольняє теоремі Лагранжа, тому:

. (70)

Враховуючи формулу (70), формула (60) буде мати вигляд:

. (80)

Права частина (80) – це інтегральна сума для функції, яка відповідає розбивці. Оскільки функція за умовою теореми є інтегрованою на, то існує і:

.

Теорема 3. Нехай функції,,, визначені і неперервні на. Тоді

, (90)

чи інакше:

.

Доказ. Оскільки функції,,, неперервні на, то кожен інтеграл в (90) існує. Оскільки

,

то функція - це одна з первісних для функції. Тоді за формулою Ньютона-Лейбніца:

що й потрібно було довести.

Приклад.

.

Теорема 4. Нехай потрібно обчислити, де - неперервна на. Нехай, і задовольняє наступним умовам:

1. визначена і неперервна на;

2. неперервна на;

3.,

тоді

. (100)

Доказ. Обидва інтеграли в (100) існують. Нехай - первісна для на. Тоді - первісна для на. За формулою Ньютона-Лейбніца

;

.

Зауваження. Нехай функція визначена і неперервна на сегменті, до того ж. Функція визначена, неперервна і має неперервну на, при цьому, і приймає свої значення в, тоді має місце формула (100), тобто значення можуть виходити за межі.

Приклад. При обчислити

Дата добавления: 2014-01-11