Нелинейная регрессия. Многие взаимосвязи между экономическими показателями наилучшим образом описываются нелинейными соотношениями

Многие взаимосвязи между экономическими показателями наилучшим образом описываются нелинейными соотношениями. Например, зависимость спроса на товар от его цены часто представляют как , где параметр .

В эконометрике выделяют два класса нелинейных моделей.

К первому относят модели, нелинейные по включенным объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам. Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменных. Например, соотношение относится, очевидно, к этому классу, т.к. оно является нелинейным только по объясняющим переменным. Определим новые переменные как и ; тогда соотношение , будучи линейным по оцениваемым параметрам, становится линейным и по новым переменным. Если в рассматриваемой модели случайная компонента является аддитивной, т.е. выражение изменяется случайным образом путем уменьшения или увеличения на , то модель примет вид . В таком случае для нахождения оценок ее параметров применим обычный метод наименьших квадратов.

Упражнение 5.1. Исследовалась зависимость между ежегодными транспортными расходами и годовым доходом семьи. Были предложены две модели: линейная и квадратичная. Оценивание по данным для 25 семей дало следующие результаты:

;

.

Какую из построенных моделей следует предпочесть?

Решение. В данном случае предложены две модели с одним и тем же определением зависимой переменной. Поэтому коэффициенты сравнимы. Результаты оценивания показывают, что линейная функция объясняет 61% дисперсии расходов на транспорт (), в то время как квадратичная зависимость объясняет уже 89% дисперсии переменной . Таким образом, квадратичная функция в наибольшей степени объясняет изменения зависимой переменной и ее следует предпочесть.

Ко второму классу относят модели, нелинейные как по объясняющим переменным, так и по параметрам. Пусть, например, экономическая зависимость моделируется формулой , и – параметры модели, подлежащие определению. Модель , очевидно, не является линейной как относительно переменной , так и параметра .

В данном случае производная не будет константой, а будет зависеть от переменной , что присуще только нелинейным моделям. Параметр определяет эластичность переменной по переменной , т.е. процентное изменение для данного процентного изменения . Действительно, , следовательно, . Тогда . Таким образом, параметр показывает на сколько процентов увеличится переменная , когда значение переменной увеличится на 1 %. Степенная зависимость может отражать, например, соотношение между объемом выпуска продукции и фактором производства (в этом случае она называется производственной функцией), или же соотношение между спросом на некоторое благо и его ценой (в этом случае она называется функцией Энгеля).

Стандартным подходом к линеаризации таких моделей является их логарифмирование.

Действительно, . Сделаем замену , и , тогда относительно новых переменных и получим линейную модель .

Если в рассматриваемой нелинейной модели случайная компонента является мультипликативной, т.е. она изменяет выражение в случайной пропорции, то модель примет вид: . Тогда после логарифмирования модель становится линейной и относительно логарифма случайной компоненты, следовательно, для нахождения оценок ее параметров можно применить МНК. При этом, если случайная величина имеет нормальный закон распределения, то для анализа качества модели можно использовать и статистики.

Если в рассматриваемой модели случайная компонента является аддитивной, т.е. , то применять обычный метод наименьших квадратов уже невозможно. В таком случае применяют специальные итерационные процедуры.

Дата добавления: 2014-01-11