Класифікація динамічних систем

Якщо динамічна система задана рівнянням (**), то постулюється, що кожному x(t₀) у фазовому просторі ставиться у відповідність стан x(t), t > t₀, в який за час t - t₀ переміститься фазова точка, що рухається відповідно до рівняння (**). В операторній формі (**) можна записати у вигляді де T_t - закон (оператор) еволюції.

Якщо цей оператор застосувати до початкового стану x(t₀), то ми одержимо x(t), тобто стан у момент часу t > t₀. x(t₀) та x(t) належать одному фазовому простору динамічної системи. Тому математики говорять у даній ситуації: оператор T_t відображає фазовий простір системи на себе. Відповідно до цього можна називати оператор T_t оператором відображення або просто відображенням.

Динамічні системи можна класифікувати залежно від виду оператора відображення й структури фазового простору.

Якщо оператор передбачає винятково лінійні перетворення початкового стану, то він називається лінійним. Лінійний оператор має властивість суперпозиції:

T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t).

Якщо оператор нелінійний, то й відповідна динамічна система називається нелінійною.

Динамічна система називається лінійною або нелінійною залежно від того, лінійна або нелінійна її система диференційних рівнянь, яка її описує.

Лінійні системи є окремим випадком нелінійних. Однак в силу принципової важливості лінійних систем при дослідженні питань стійкості, а також можливості використання принципу суперпозиції розв’язків така класифікація виправдана.

Розрізняють неперервні та дискретні оператори й відповідно системи з неперервним і дискретним часом. Системи, для яких відображення x(t) за допомогою оператора T може бути визначене для будь-яких t > t₀ (неперервно за часом t), називають також потоками за аналогією із стаціонарним плином рідини. Якщо оператор відображення визначений на дискретній множині значень часу, то відповідні динамічні системи називають каскадами або системами з дискретним часом.

Способи завдання оператора відображення T також можуть розрізнятися. Оператор T можна задати у вигляді диференційного або інтегрального перетворення, у вигляді матриці або таблиці, у вигляді графіка або функції й т.д.

Динамічні системи, що моделюються кінцевим числом звичайних диференційних рівнянь, називають зосередженими системами. Вони описуються за допомогою кінцевовимірного фазового простору та характеризуються кінцевим числом ступенів свободи. Та сама система в різних умовах може розглядатися або як зосереджена, або як розподілена.

Математичні моделі розподілених систем – це диференційні рівняння в частинних похідних, інтегральні рівняння або звичайні рівняння із запізнюючим аргументом. Число ступенів свободи розподіленої системи нескінченно, і потрібне нескінченне число даних для визначення її стану.

За енергетичною класифікацією динамічні системи діляться на консервативні та неконсервативні.

Динамічні системи зі змінним у часі запасом енергії називаються неконсервативними. Причому слід зазначити, що термін “енергія” має загальне тлумачення і лише для механічних систем він розуміється як (повна) механічна енергія, тобто сума кінетичної та потенційної енергії.

Системи, у яких енергія зменшується в часі через тертя або розсіювання, називаються дисипативними. Відповідно до цього системи, енергія яких у часі наростає, називаються системами з від’ємним тертям або від’ємною дисипацією. Такі системи можна розглядати як дисипативні при зміні напрямку відліку часу на протилежний.

Динамічні системи називаються автономними, якщо вони не піддані дії зовнішніх сил, змінних у часі. Рівняння автономних систем явної залежності від часу не містять.

Більшість реальних коливальних систем у фізиці, радіофізиці, біології, хімії й інших областях знань неконсервативні. Серед них виділяється особливий клас автоколивальних систем, які принципово неконсервативні й нелінійні.

Автоколивальною називають динамічну систему, що перетворить енергію джерела в енергію незатухаючих коливань, причому основні характеристики коливань (амплітуда, частота, форма коливань і т.д.) визначаються параметрами системи й у певних межах не залежать від вибору вихідного початкового стану.

Дата добавления: 2014-01-11