Прямая в пространстве. Уравнение прямой

Множество точек в трехмерном пространстве, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

(4.7)

называется прямой, проходящей через точку и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором данной прямой, переменная величина , , называется параметром, а система (4.7) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве. Параметр выражается линейно через текущие координаты точки ,если :

Каноническими уравнениями прямой называют линейные зависимости между координатами точки , расположенной на прямой:

. (4.8)

Известно из геометрии, что через две точки и можно провести только одну прямую. Найдем уравнение этой прямой. Очевидно, прямая проходит через точку параллельно вектору . По формуле (4.8) уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:

(4.9)

Прямую можно рассматривать как пересечение двух плоскостей и

(4.10)

Эта система называется общими уравнениями прямой.

Направляющий вектор этой прямой перпендикулярен нормальным векторам и плоскостей и . Поэтому, можно выбрать в качестве направляющего вектора векторное произведение нормальных векторов плоскостей: . Координатами точки на прямой может служить любое частное решение системы (4.10). Таким образом, по общим уравнениям прямой (4.10) можно составлять канонические уравнения прямой

Заметим, что из каждого вида уравнений прямой в пространстве можно получить любой другой вид уравнений прямой в пространстве.

Пример 4.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(2,-1,4) параллельно вектору в параметрической и канонической формах.

Решение. Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

Канонические уравнения прямой имеют вид: .

Пример 4.14. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А (– 3, 1, 2) параллельно прямой:

а) ; б) в)

Решение. а) Направляющий вектор заданной прямой , очевидно, является направляющим вектором искомой прямой. Поэтому: – искомое уравнение.

б) Направляющий вектор заданной прямой . Следовательно, уравнения искомой прямой .

в) Направляющим вектором искомой прямой будет вектор , где и – векторы нормалей к плоскостям x + 2 y – z + 4 = 0 и 3 x – y + 2 z – 7 = 0.

Тогда .

Поэтому, уравнения искомой прямой: .

Пример 4.15. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А (2, 3, – 5) и В (– 3, 1, 4).

Решение. Используя уравнения прямой, проходящей через две точки получаем: .

Пример 4.16. Написать канонические уравнения прямой

Решение. Найдем направляющий вектор данной прямой

.

Чтобы написать канонические уравнения прямой необходимо еще найти какую-нибудь точку на этой прямой. В качестве такой точки А (x ₀, y ₀, z ₀) возьмем, например ту, у которой z ₀ = 0, т. е. А (x ₀, y ₀, 0). Тогда ее координаты x ₀ и y ₀ обязаны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, точка А (1, 2, 0) принадлежит заданной прямой. Теперь напишем канонические уравнения этой прямой:

.

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние δ от точки М ₁(х₁, y₁, z₁) до прямой L:

равно длине перпендикуляра М ₁ М ₂, проведенного из точки М ₁ на прямую L (рис. 4.7).

Отрезок М ₁ М ₂ является высотой параллелограмма, построенного на векторах и с общим началом в точке М ₀(х₀, y₀, z₀).

Рис. 4.7. Расстояние от точки до прямой

Площадь этого параллелограмма с одной стороны равна произведению высоты на основание: , а с другой – по свойству векторного произведения - его длине: . Отсюда:

;

(4.11)

Пример 4.17. Найти расстояние от точки A (4; 4; 4) до прямой L, заданной каноническими уравнениями

.

Решение.

1 способ. Запишем параметрические уравнения прямой L с начальной точкой P (4; 5; 8) и направляющим вектором = (1; 2; 3):

x = 4 + t, y = 5 + 2 t, z = 8 + 3 t.

Таким образом, проекция точки A на прямую L имеет вид

B (4 + t, 5 + 2 t, 8 + 3 t).

Чтобы найти t, необходимо воспользоваться условием ортогональности векторов и .

Имеем

(,) = ((1; 2; 3), (t, 1 + 2 t, 4 + 3 t)) = t + 2 + 4 t + 12 + 9 t = 14 + 14 t = 0.

Отсюда t = −1, B = (3; 3; 5), = (−1, −1, 1). Окончательно, имеем

.

2 способ. По формуле (4.11) получаем:

.

Скрещивающиеся прямые

Найдем расстояние между двумя скрещивающимися прямыми L ₁ и L ₂:

, .

Расстоянием между прямыми называют длину общего перпендикуляра.

Геометрическое построение общего перпендикуляра начнем с простого примера двух параллельных прямых L ₁ и L ₃ (рис. 4.8):

Рис. 4.8. Прямые: параллельные и скрещивающиеся

Возьмем любую точку К ₁ на прямой L ₁ и в плоскости, проходящей через параллельные прямые L ₁ и L ₃, проведем перпендикуляр К ₁ К _{2 к} прямой L ₃. Это общий перпендикуляр к прямым L ₁ и L ₃ в силу их параллельности.

Будем считать, что прямые L ₁ и L ₃ расположены в параллельных плоскостях Р ₁ и Р ₂, проходящих через точки К ₁ и К ₂, перпендикулярно вектору . Проведем в плоскости Р ₂ через точку К ₂ прямую L ₂, пересекающую прямую L ₃ . Тогда К ₁ К ₂ - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых L ₁ и L ₂. Заметим, что длина перпендикуляра К ₁ К ₂ равна расстоянию между параллельными плоскостями Р ₁ и Р ₂. Уравнение прямой К ₁ К ₂ задается пересечением плоскостей Q ₁ и Q ₂, проходящих через прямые L ₁ и L ₂, перпендикулярно плоскостям Р ₁ и Р ₂.

Теперь рассмотрим любые две скрещивающиеся прямые L ₁ и L ₂. Сначала построим их общий перпендикуляр.

Проведем плоскость Р ₁ через прямую L ₁ параллельно прямой L ₂ и плоскость Р ₂ - через прямую L ₂ параллельно прямой L ₁. Направляющие векторы прямых и образуют направляющее векторное пространство параллельных плоскостей Р ₁ и Р ₂.

Далее, через прямую L ₁ и прямую L ₂ проведем плоскости Q ₁ и Q ₂, перпендикулярные плоскостям Р ₁ и Р ₂. Прямая, задаваемая пересечением плоскостей Q ₁ и Q ₂, перпендикулярна параллельным плоскостям Р ₁ и Р ₂. Отрезок К ₁ К ₂, заключенный между плоскостями Р ₁ и Р ₂, является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых L ₁ и L ₂. Его длина равна как расстоянию между прямыми L ₁ и L ₂, так и расстоянию между плоскостями Р ₁ и Р ₂.

Для нахождения длины общего перпендикуляра прямых L ₁ и L ₂ построим параллелепипед по трем векторам с общим началом в точке М ₁.

Основание параллелограмма с вершиной в точке М ₁ расположено в плоскости Р ₁, а основание с вершиной в точке М ₂ в плоскости Р ₂. Оба основания построены по векторам и . Поэтому площадь параллелограмма в основаниях равна длине вектора :

.

Объем параллелепипеда определим по смешанному произведению векторов , и .

.

Расстояние между плоскостями Р ₁ и Р ₂ равно высоте рассмотренного выше параллелепипеда и может быть вычислено по формуле .

.

Уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых задаются пересечением плоскостей Q ₁ и Q ₂, проходящих соответственно через прямые L ₁ и L ₂ перпендикулярно параллельным плоскостям Р ₁ и Р ₂:

(Уравнение плоскости Q ₂)

Направляющими векторами плоскостей Q ₁ и Q ₂, соответственно, являются пары и , где - нормальный вектор плоскостей Р ₁ и Р ₂.

Нормальные векторы плоскостей Q ₁ и Q ₂ определяются векторными произведениями и .

Пример 4.18. Составить уравнения общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым

и найти расстояние между ними.

Решение.

Плоскость, параллельная обеим прямым, перпендикулярна вектору:

.

В качестве нормали этой плоскости можно взять вектор =(2; 1; 4) коллинеарный . Общий перпендикуляр к данным прямым представляет собой пересечение плоскостей

или, после упрощения,

3 x − 2 y − z − 6 = 0, 5 x + 34 y − 11 z – 38 = 0.

Отсюда получаем - уравнение общего перпендикуляра.

Далее,

,

,

.

Дата добавления: 2014-01-11