Примеры вычисления определенных интегралов

Формула Ньютона -Лейбница

.

Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b)–F(a) обычно изображают символом и формулу пишут в виде:

.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Непосредственное интегрирование:

=.

Пример 2. Вычислить интеграл.

Решение. Воспользуемся методом замены переменной.

Сделаем подстановку cos x = t; тогда dt = (cos x) dx = – sin xdx dx = – dt/sin x. Определим пределы изменения t: x [ 0, /2 ] t [ 1, 0 ], и тогда

= == =1/3.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Интегрирование по частям:

= (sin + cos) – ()= – 1 – .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. 1) Произведем замену переменной:

.

2) Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

=(ln | t | – ln | t+1 |)=

= (ln | e | – ln | e + 1 | ) – (ln | 1 | – ln |1+1|) =

= ln (e) – ln (e + 1) + ln2 .

здесь знаки модулей опущены, так как под этими знаками стоят положительные величины.

Ответ: .

Дата добавления: 2014-01-11